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第1章 函数 1

1.1 集合 1

1.1.1 集合的概念 1

1.1.2 集合的表示法 2

1.1.3 全集、空集、子集、相等 2

1.1.4 集合的运算 3

1.1.5 集合的笛卡儿乘积 6

习题1-1 7

1.2 实数集 8

1.2.1 实数与数轴 8

1.2.2 绝对值 8

1.2.3 区间 9

1.2.4 邻域 10

习题1-2 11

1.3 函数关系 12

1.3.1 函数关系 12

1.3.2 函数的表示法 16

习题1-3 19

1.4 函数关系的建立 20

习题1-4 22

1.5 函数的几种简单性质 23

1.5.1 函数的奇偶性 23

1.5.2 函数的周期性 24

1.5.3 函数的单调性 25

1.5.4 函数的有界性 26

习题1-5 27

1.6 反函数与复合函数 29

1.6.1 反函数 29

1.6.2 复合函数 31

习题1-6 32

1.7 初等函数 33

第2章 极限与连续 37

2.1 数列的极限 37

2.1.1 数列 37

2.1.2 数列的极限 38

习题2-1 40

2.2 函数的极限 41

2.2.1 当x→∞时，函数f(x)的极限 41

2.2.2 当x→x0时，函数f(x)的极限 43

2.2.3 左极限与右极限 45

2.2.4 函数极限的定理 46

2.2.5 变量的极限 47

习题2-2 48

2.3 无穷大量与无穷小量 49

2.3.1 无穷大量 49

2.3.2 无穷小量 50

2.3.3 无穷小量与无穷大量的关系 52

2.3.4 无穷小量的比较 52

习题2-3 54

2.4 极限的运算法则 56

习题2-4 60

2.5 变量极限存在准则 62

2.5.1 单调有界数列必有极限定理 62

2.5.2 “迫敛性”定理 63

习题2-5 65

2.6 两个重要极限 66

2.6.1 lim x→0 sin x/x=1 66

2.6.2 lim n→∞(1+1/n)n=e 67

习题2-6 71

2.7 等价无穷小量 73

习题2-7 75

2.8 函数的连续性 77

2.8.1 函数连续的概念 77

2.8.2 函数的间断点 79

习题2-8 82

2.9 连续函数的运算及性质 84

2.9.1 连续函数的运算 84

2.9.2 闭区间上连续函数的性质 85

习题2-9 87

第3章 导数与微分 88

3.1 导数的概念 88

3.1.1 变量的变化率——导数的概念 88

3.1.2 导数的几何意义 91

3.2 导数的概念（续） 93

3.2.1 左、右导数 93

3.2.2 可导与连续 93

习题3-2 96

3.3 导数运算法则 98

习题3-3 103

3.4 导数运算法则（续） 105

3.4.1 复合函数求导 105

3.4.2 隐函数求导 107

3.4.3 参数式求导 108

3.4.4 其他求导法 108

3.4.5 基本初等函数的导数公式 110

习题3-4 111

3.5 高阶导数 113

习题3-5 115

3.6 微分 116

3.6.1 微分的概念 116

3.6.2 微分的几何意义 117

3.6.3 微分的运算公式 118

3.6.4 微分的应用 120

习题3-6 121

第4章 中值定理与导数的应用 123

4.1 中值定理 123

4.1.1 罗尔中值定理 123

4.1.2 拉格朗日中值定理 125

4.1.3 柯西中值定理 128

习题4-1 129

4.2 洛必达法则 131

4.2.1 0/0型未定式的极限 131

4.2.2 ∞/∞型未定式的极限 133

4.2.3 其他类型的未定式的极限(∞·0,∞-∞,1∞,00,∞0) 134

习题4-2 137

4.3 函数的增减性 139

习题4-3 141

4.4 函数的极值 142

习题4-4 147

4.5 最大值与最小值及极值在经济上的应用 149

4.5.1 最大值与最小值 149

4.5.2 极值在经济上的应用举例 151

习题4-5 154

4.6 曲线的凹向与拐点 156

习题4-6 160

4.7 函数图形的作法 161

4.7.1 曲线的渐近线 161

4.7.2 函数图形的作法 163

习题4-7 166

4.8 相对变化率在经济中的应用——弹性 167

4.8.1 相对变化率——弹性 167

4.8.2 需求、供给的函数与弹性 169

4.8.3 总收益的需求弹性分析 173

习题4-8 174

第5章 不定积分 176

5.1 不定积分的概念和性质 176

5.1.1 原函数的概念 176

5.1.2 不定积分的概念 177

5.1.3 不定积分的性质 179

5.1.4 不定积分的几何意义 179

习题5-1 180

5.2 基本积分公式 181

习题5-2 184

5.3 换元积分法 185

5.3.1 第一换元积分法（凑微分法） 185

5.3.2 第二换元积分法 189

习题5-3 193

5.4 分部积分法 196

习题5-4 199

5.5 综合杂例 201

习题5-5 204

第6章 定积分 205

6.1 定积分的概念 205

6.1.1 两个实例 205

6.1.2 定积分的定义 208

6.1.3 定积分的存在定理 209

习题6-1 211

6.2 定积分的基本性质 212

习题6-2 215

6.3 微积分基本定理 217

6.3.1 积分上限函数及其导数 217

6.3.2 牛顿—莱布尼茨公式 218

习题6-3 220

6.4 定积分的换元积分法与分部积分法 222

6.4.1 定积分的换元法 222

6.4.2 定积分的分部积分法 224

习题6-4 225

6.5 定积分的应用 227

6.5.1 平面图形的面积 228

6.5.2 旋转体和已知平行截面面积的立体的体积 230

6.5.3 定积分在经济中的应用 231

习题6-5 232

6.6 广义积分与Γ函数 234

6.6.1 无限区间上的广义积分 234

6.6.2 无界函数的广义积分 235

6.6.3 Γ函数 237

习题6-6 238

第7章 无穷级数 240

7.1 无穷级数及其性质 240

7.1.1 无穷级数的概念 240

7.1.2 无穷级数的基本性质 242

习题7-1 245

7.2 正项级数 247

7.2.1 正项级数收敛的充要条件 247

7.2.2 比较判别法 247

7.2.3 比值判别法与根值判别法 250

习题7-2 252

7.3 任意项级数 254

7.3.1 交错级数收敛性的判定 254

7.3.2 绝对收敛与条件收敛 255

习题7-3 257

7.4 幂级数 259

7.4.1 幂级数及其收敛性 259

7.4.2 幂级数的性质 264

习题7-4 266

7.5 函数展开成幂级数 268

7.5.1 泰勒级数 268

7.5.2 几个初等函数的幂级数展开式 270

习题7-5 276

7.6 函数幂级数展开式的应用 277

7.6.1 近似计算 277

7.6.2 欧拉公式 280

习题7-6 281

第8章 多元函数 282

8.1 空间解析几何简介 282

8.1.1 空间直角坐标系 282

8.1.2 空间任意两点间的距离 283

8.1.3 曲面与方程 284

8.2 多元函数的概念 287

8.2.1 平面区域 287

8.2.2 二元函数的概念 288

8.2.3 二元函数的定义域 288

8.2.4 二元函数的几何意义 289

习题8-2 290

8.3 二元函数的极限和连续 291

8.3.1 二元函数的极限 291

8.3.2 二元函数的连续性 292

习题8-3 293

8.4 偏导数与全微分 294

8.4.1 偏导数 294

8.4.2 高阶偏导数 297

8.4.3 全微分 298

习题8-4 302

8.5 多元复合函数微分法与隐函数微分法 304

8.5.1 多元复合函数微分法 304

8.5.2 隐函数的微分法 307

习题8-5 310

8.6 二元函数的极值 311

8.6.1 二元函数极值及其求法 311

8.6.2 二元函数的最大值与最小值 313

8.6.3 多元函数的条件极值 315

习题8-6 316

8.7 二重积分的概念与性质 318

8.7.1 二重积分的概念 318

8.7.2 二重积分的性质 321

习题8-7 323

8.8 二重积分的计算与应用 324

8.8.1 二重积分的计算 324

8.8.2 二重积分的应用 332

习题8-8 333

第9章 微分方程简介 336

9.1 微分方程的基本概念 336

9.1.1 微分方程模型的建立 336

9.1.2 微分方程的基本概念 337

习题9-1 338

9.2 一阶微分方程 340

9.2.1 可分离变量的微分方程 340

9.2.2 齐次微分方程 341

9.2.3 一阶线性微分方程 342

习题9-2 345

9.3 二阶微分方程 346

9.3.1 几种二阶微分方程 346

9.3.2 二阶线性微分方程 348

习题9-3 353

9.4 微分方程的应用 355

习题9-4 357

第10章 差分方程初步 359

10.1 差分及差分方程的基本概念 359

10.1.1 差分的定义及性质 359

10.1.2 差分方程 360

习题10-1 361

10.2 一阶常系数线性差分方程的解法 362

10.2.1 一阶常系数线性齐次差分方程的解 362

10.2.2 一阶常系数线性非齐次差分方程的特解和通解 362

习题10-2 365

部分习题答案与提示 366

参考文献 401