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第1章 度量空间 1

1.1度量空间简介 1

练习1.1 7

1.2紧性 8

练习1.2 14

1.3线性赋范空间 14

1.3.1线性赋范空间的定义与例子 14

1.3.2最佳逼近 21

1.3.3商空间 23

1.3.4有穷维空间的刻画 24

练习1.3 24

1.4压缩映射原理 26

练习1.4 30

1.5凸集与不动点 31

1.5.1定义与基本性质 31

1.5.2 Brouwer和Schauder不动点定理 36

练习1.5 38

1.6内积空间 38

1.6.1内积空间的定义 39

1.6.2正交与正交基 43

练习1.6 49

第2章 线性算子与线性泛函 51

2.1线性算子和线性泛函的定义 51

练习2.1 57

2.2 Baire纲推理 58

练习2.2 62

2.3开映像定理等 63

练习2.3 66

2.4线性泛函延拓定理 67

2.4.1 Hahn-Banach延拓定理 67

2.4.2凸集的分离定理 70

2.4.3凸规划的Lagrange乘子 73

练习2.4 76

2.5共轭空间、弱收敛、自反空间 77

2.5.1弱收敛 77

2.5.2二次共轭空间 81

2.5.3弱拓扑 84

2.5.4自反空间 86

2.5.5算子空间上的拓扑 88

练习2.5 89

2.6 Riesz定理及其应用 90

练习2.6 97

2.7 Lp的共轭空间 98

练习2.7 103

2.8线性空间上的微分学 104

2.8.1强微分（Frechet微分） 104

2.8.2弱微分（Gateaux微分） 108

2.8.3隐函数存在定理和逆映射定理 110

2.8.4凸函数的弱可微性 112

练习2.8 120

第3章 线性算子的谱 122

3.1谱的概念和基本性质 122

练习3.1 133

3.2紧算子及其谱性质 134

练习3.2 143

3.3投影算子、自伴算子、正常算子和酉算子 144

练习3.3 151

3.4 Hilbert空间上的紧自伴算子 152

练习3.4 155

3.5谱定理 155

练习3.5 157

3.6解析泛函演算 157

练习3.6 161

参考文献 163

索引 166