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第一篇 微积分 1

第一章 函数、极限和连续 1

第1节 重要概念、定理和公式的剖析 1

一、函数的基本性质 1

二、分段函数 5

三、反函数 5

四、复合函数 6

五、初等函数 9

六、函数的极限及其连续性 9

七、重要公式和定理 12

第2节 重要题型的解题方法和技巧 19

题型一 未定式的定值法 19

题型二 类未定式的计算 23

题型三 数列的极限 24

题型四 极限式中常数的确定（重点） 29

题型五 函数连续或间断点的判定 32

第3节 思维定势及综合题解析 34

一、思维定势 34

二、综合题解析 38

习题一 39

第二章 导数与微分 43

第1节 重要概念、定理和公式的剖析 43

一、导数与微分的定义 43

二、重要定理 45

三、导数与微分的运算法则 45

四、基本公式 45

五、高阶导数的定义与基本公式 46

第2节 重要题型的解题方法和技巧 46

题型一 求复合函数的导数或微分 46

题型二 求隐函数的导数或微分 48

题型三 求幂指函数的导数或微分 48

题型四 求表达式为若干因子连乘积、乘方、开方或商形式的函数的导数或微分 49

题型五 求分段函数的导数或微分 49

题型六 求高阶导数 51

第3节 思维定势及综合题解析 54

一、思维定势 54

二、综合题解析 54

习题二 56

第三章 不定积分 60

第1节 重要概念、定理和公式的剖析 60

一、不定积分的基本概念 60

二、基本性质 60

三、基本公式 61

四、基本积分法 62

第2节 重要题型的解题方法和技巧 75

题型一 有理函数的不定积分 75

题型二 简单无理函数的不定积分 76

题型三 三角有理式的不定积分 77

题型四 含有反三角函数的不定积分 81

题型五 抽象函数的不定积分 81

题型六 分段函数的不定积分 82

第3节 思维定势及综合题解析 83

一、思维定势 83

二、综合题解析 84

习题三 86

第四章 定积分及反常积分 90

第1节 重要概念、定理和公式的剖析 90

一、基本性质 90

二、定理和公式 93

三、定积分的计算法 96

四、反常积分的基本概念 100

第2节 重要题型的解题方法和技巧 101

题型一 分段函数的定积分 101

题型二 被积函数带有绝对值符号的定积分 103

题型三 被积函数中含有“变限积分”的定积分 104

题型四 对称区间上的定积分 106

题型五 被积函数的分母为两项，而分子为其中一项的定积分 107

题型六 由三角有理式与其他初等函数通过四则运算或复合而成的定积分 108

题型七 已知一定积分，求另一定积分 109

题型八 定积分等式的证明 110

题型九 定积分不等式的证明 118

题型十 计算反常积分 123

题型十一 反常积分的判敛 124

第3节 思维定势及综合题解析 125

一、思维定势 125

二、综合题解析 126

习题四 127

第五章 微分中值定理 131

第1节 重要概念、定理和公式的剖析 131

第2节 重要题型的解题方法和技巧 132

题型一 闭区间上连续函数命题的证明 132

题型二 证明给出的函数f（x）满足某中值定理 135

题型三 证明某个函数恒等于一个常数的命题 136

题型四 命题f（n）（ξ）＝0的证明 137

题型五 欲证结论：至少存在一点ξ∈（a,b），使得f（n）（ξ）＝k（k≠0）或由a,b,f(a),f(b),ξ,f(ξ),f′（ξ），…，f（n）（ξ）所构成的代数式成立 138

题型六 欲证结证：在（a,b），内至少存在ξ，η（ξ≠η）满足某个代数式 141

第3节 思维定势及综合题解析 142

一、思维定势 142

二、综合题解析 144

习题五 146

第六章 常微分方程和差分方程 148

第1节 重要概念、定理和公式的剖析 148

一、基本概念 148

二、二阶线性微分方程解的结构 148

三、二阶常系数线性微分方程 150

四、n阶常系数线性微分方程 150

五、差分方程 153

第2节 重要题型的解题方法和技巧 153

题型一 一阶微分方程的计算 153

题型二 计算二阶线性微分方程 161

题型三 计算一阶线性差分方程 164

题型四 微分方程的应用 166

第3节 思维定势及综合题解析 167

一、思维定势 167

二、综合题解析 168

习题六 169

第七章 一元微积分的应用 172

第1节 重要概念、定理和公式的剖析 172

一、函数的单调增减性定理 172

二、函数的极值与最值 173

三、函数凹凸性的判别与函数的拐点 174

四、微元法及其应用 176

第2节 重要题型的解题方法和技巧 177

题型一 求函数的极值 177

题型二 求函数的最值 178

题型三 关于方程根的讨论 179

题型四 函数渐近线的求解 184

题型五 函数作图 184

题型六 求平面图形的面积 185

题型七 求旋转体的体积 187

第3节 思维定势与综合题解析 188

一、思维定势 188

二、综合题解析 190

习题七 192

第八章 无穷级数 195

第1节 重要概念、定理和公式的剖析 195

一、无穷级数的基本概念和性质 195

二、数项级数判敛法 196

三、函数项级数的概念 201

四、幂级数的概念和性质 201

第2节 重要题型的解题方法和技巧 203

题型一 正项级数的判敛 203

题型二 任意项级数的判敛 205

题型三 级数的证明或判敛 207

题型四 计算函数项级数收敛域 209

题型五 求幂级数的收敛域、收敛半径 210

题型六 函数在某点的幂级数展开 212

题型七 幂级数求和 214

题型八 数项级数求和 218

第3节 思维定势及综合题解析 221

一、思维定势 221

二、综合题解析 222

习题八 223

第九章 多元函数微分学 227

第1节 重要概念、定理和公式的剖析 227

一、二元函数的定义 227

二、二元函数的极限及连续性 228

三、偏导数、全导数及全微分 229

四、基本定理 230

五、多元函数的极值 232

六、条件极值与无条件极值 233

第2节 重要题型的解题方法和技巧 233

题型一 简单显函数u=f（x,y,z）的微分法 233

题型二 复合函数微分法 234

题型三 隐函数微分法 237

题型四 求无条件极值 240

题型五 求条件极值 241

题型六 求最值 242

第3节 思维定势及综合题解析 243

一、思维定势 243

二、综合题解析 243

习题九 244

第十章 二重积分 247

第1节 重要概念、定理和公式的剖析 247

一、基本概念 247

二、性质 247

三、二重积分的解题技巧 249

第2节 重要题型的解题方法和技巧 251

题型一 更换二重积分的积分次序 251

题型二 选择二重积分的积分次序 253

题型三 二重积分坐标系的选择 255

题型四 分段函数的二重积分的计算 257

题型五 无界区域上简单二重积分的计算 260

题型六 二重积分等式的证明 261

题型七 二重积分不等式的证明 262

第3节 思维定势及综合题解析 264

一、思维定势 264

二、综合题解析 265

习题十 266

第十一章 函数方程与不等式证明 269

第1节 函数方程 269

一、利用函数表示法与用何字母表示无关的“特性”求解方程 269

二、利用极限求解函数方程 270

三、利用导数的定义求解方程 271

四、利用变限积分的可导性求解方程 271

五、利用连续函数的可积性及原函数的连续性求解 272

第2节 不等式的证明 273

一、引入参数法 273

二、利用微分中值定理 274

三、利用函数的单调增减性（重点） 276

四、利用函数的极值与最值 278

五、利用函数图形的凹凸性 279

六、利用泰勒展开式 280

七、杂例 281

习题十一 282

第十二章 微积分在经济中的应用 285

第1节 重要概念、定理和公式的剖析 285

第2节 重要题型的解题方法和技巧 286

题型一 一元微积分在经济中的应用 286

题型二 二元微分学在经济中的应用 291

习题十二 292

第二篇 线性代数 293

第一章 行列式 293

第1节 重要概念、定理和公式的剖析 293

一、排列与逆序 293

二、n阶行列式的定义 294

三、行列式的基本性质 296

四、行列式按行（列）展开定理 298

五、重要公式与结论 300

第2节 重要题型的解题方法和技巧 301

题型一 抽象行列式的计算 301

题型二 低阶行列式的计算 301

题型三 n阶行列式的计算 303

第3节 思维定势与综合题解析 308

一、思维定势 308

二、综合题解析 309

习题一 310

第二章 矩阵 313

第1节 重要概念、定理和公式的剖析 313

一、矩阵的概念 313

二、矩阵的运算 314

三、逆矩阵的概念 316

四、利用伴随矩阵求逆矩阵 317

五、矩阵的初等变换与求逆 318

六、分块矩阵及其求逆 319

七、矩阵的秩及其求法 319

第2节 重要题型的解题方法和技巧 319

题型一 求逆矩阵 319

题型二 求矩阵的高次幂Am 322

题型三 有关初等矩阵的命题 324

题型四 解矩阵方程 325

题型五 求矩阵的秩 327

题型六 关于矩阵对称、反对称命题的证明 329

题型七 关于方阵A可逆的证明 329

题型八 与A的伴随阵A＊有关联的命题的证明 330

题型九 关于矩阵秩的命题的证明 331

第3节 思维定势与综合题解析 333

一、思维定势 333

二、综合题解析 334

习题二 335

第三章 向量 341

第1节 重要概念、定理和公式的剖析 341

一、向量的概念与运算 341

二、向量间的线性关系 341

三、向量组的秩和矩阵的秩 342

四、向量的内积与施密特正交化方法 343

五、重要定理与公式 344

六、小结 345

第2节 重要题型的解题方法和技巧 345

题型一 讨论向量组的线性相关性 345

题型二 有关向量组线性相关性命题的证明 349

题型三 判定一个向量是否可由一组向量线性表示 355

题型四 有关向量组线性表示命题的证明 357

题型五 求向量组的极大线性无关组 358

题型六 有关向量组或矩阵秩的计算与证明 359

题型七 与向量空间有关的命题 363

第3节 思维定势与综合题解析 364

一、思维定势 364

二、综合题解析 365

习题三 366

第四章 线性方程组 370

第1节 重要概念、定理和公式的剖析 370

一、克莱姆法则 370

二、线性方程组的基本概念 370

三、线性方程组解的判定 371

四、非齐次线性方程组与其导出组的解的关系 372

五、线性方程组解的性质 372

六、线性方程组解的结构 372

第2节 重要题型的解题方法和技巧 373

题型一 基本概念题（解的判定、性质、结构） 373

题型二 含有参数的线性方程组解的讨论 377

题型三 讨论两个方程组的公共解 383

题型四 有关基础解系的证明 384

第3节 思维定势与综合题解析 386

一、思维定势 386

二、综合题解析 386

习题四 391

第五章 特征值和特征向量 396

第1节 重要概念、定理和公式的剖析 396

一、矩阵的特征值和特征向量的概念 396

二、相似矩阵及其性质 396

三、矩阵可相似对角化的充要条件 397

四、实对称矩阵及其性质 397

五、重要公式与结论 398

第2节 重要题型的解题方法和技巧 399

题型一 求数值矩阵的特征值与特征向量 399

题型二 求抽象矩阵的特征值与特征向量 400

题型三 特征值与特征向量的逆问题 401

题型四 相似的判定及其逆问题 404

题型五 判断矩阵A是否可对角化 406

题型六 有关特征值与特征向量的证明题 409

第3节 思维定势与综合题解析 411

一、思维定势 411

二、综合题解析 411

习题五 417

第六章 二次型 420

第1节 重要概念、定理和公式的剖析 420

一、二次型及其矩阵表示 420

二、化二次型为标准型 420

三、配方法和正交变换法 421

四、二次型和矩阵的正定性及其判别法 422

第2节 重要题型的解题方法和技巧 425

题型一 二次型所对应的矩阵及其性质 425

题型二 化二次型为标准形 426

题型三 已知二次型通过正交变换化为标准形，反求参数 430

题型四 有关二次型及其矩阵正定性的判定与证明 432

第3节 思维定势与综合题解析 434

一、思维定势 434

二、综合题解析 435

习题六 436

第三篇 概率论与数理统计 438

第一章 随机事件和概率 438

第1节 重要概念、定理和公式的剖析 438

一、随机试验和随机事件 438

二、事件的关系及其运算 439

三、事件的概率及其性质 441

四、条件概率与事件的独立性 442

五、重要概型 443

六、重要公式 443

第2节 重要题型的解题方法和技巧 444

题型一 古典概型与几何概型 444

题型二 事件的关系和概率性质的命题 448

题型三 条件概率与积事件概率的计算 449

题型四 全概率公式与Bayes公式的命题 450

题型五 有关Bernoulli概型的命题 453

第3节 思维定势与综合题解析 454

一、思维定势 454

二、综合题解析 456

习题一 456

第二章 随机变量及其分布 460

第1节 重要概念、定理和公式的剖析 460

一、概念与公式一览表 460

二、重要的一维分布 464

三、重要的二维分布 466

第2节 重要题型的解题方法和技巧 466

题型一 一维随机变量及其分布的概念、性质的命题 466

题型二 求一维随机变量的分布律、概率密度或分布函数 470

题型三 求一维随机变量函数的分布 473

题型四 二维随机变量及其分布的概念、性质的考查 476

题型五 求二维随机变量的各种分布与随机变量独立性的讨论 478

题型六 求两个随机变量的简单函数的分布 485

第3节 思维定势与综合题解析 490

一、思维定势 490

二、综合题解析 492

习题二 493

第三章 随机变量的数字特征 501

第1节 重要概念、定理和公式的剖析 501

一、一维随机变量的数字特征 501

二、二维随机变量的数字特征 503

三、几种重要的数学期望与方差 504

四、重要公式与结论 505

第2节 重要题型的解题方法和技巧 505

题型一 求一维随机变量的数字特征 505

题型二 求一维随机变量函数的数学期望 510

题型三 求二维随机变量及其函数的数字特征 512

题型四 有关数字特征的证明题 519

题型五 数字特征在经济中的应用 520

第3节 思维定势与综合题解析 523

一、思维定势 523

二、综合题解析 523

习题三 526

第四章 大数定律和中心极限定理 531

第1节 重要概念、定理和公式的剖析 531

一、切比雪夫不等式 531

二、中心极限定理 531

三、重要公式与结论 532

四、注意 532

第2节 重要题型的解题方法和技巧 532

题型一 有关切比雪夫不等式与大数定律的命题 532

题型二 有关中心极限定理的命题 534

习题四 537

第五章 数理统计的基本概念 538

第1节 重要概念、定理和公式的剖析 538

一、几个基本概念 538

二、三个抽样分布——X2分布、t分布与F分布 539

三、正态总体下常用统计量的性质 539

四、重要公式与结论 540

五、经验分布函数 540

第2节 重要题型的解题方法和技巧 541

题型一 求统计量的数字特征或取值的概率、样本的容量 541

题型二 求统计量的分布 542

第3节 思维定势 544

习题五 545

第六章 参数估计 547

第1节 重要概念、定理和公式的剖析 547

一、矩估计与最大似然估计 547

第2节 重要题型的解题方法和技巧 548

题型一 求矩估计和最大似然估计 548

习题六 552

附录 课后习题答案详解 554

第一篇 微积分 554

第一章 函数、极限和连续 554

第二章 导数与微分 558

第三章 不定积分 562

第四章 定积分及反常积分 568

第五章 微分中值定理 572

第六章 常微分方程与差分方程 574

第七章 一元微积分的应用 579

第八章 无穷级数 582

第九章 多元函数微分学 588

第十章 二重积分 591

第十一章 函数方程与不等式证明 594

第十二章 微积分在经济中的应用 597

第二篇 线性代数 599

第一章 行列式 599

第二章 矩阵 601

第三章 向量 609

第四章 线性方程组 614

第五章 特征值和特征向量 622

第六章 二次型 630

第三篇 概率论与数理统计 634

第一章 随机事件和概率 634

第二章 随机变量及其分布 637

第三章 随机变量的数字特征 647

第四章 大数定律和中心极限定理 653

第五章 数理统计的基本概念 655

第六章 参数估计 657