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1 常微分方程 1

1.1 微分方程基本概念 1

1.1.1 微分方程的定义 1

1.1.2 微分方程的分类 3

1.1.3 微分方程的通解与特解 3

1.1.4 微分方程的初值问题 4

习题1.1 5

1.2 一阶微分方程 5

1.2.1 解的存在性与唯一性 6

1.2.2 可分离变量的方程 6

1.2.3 齐次方程 8

1.2.4 一阶线性方程 9

1.2.5 全微分方程 11

1.2.6 可用变量代换法求解的一阶微分方程 12

习题1.2 14

1.3 二阶微分方程 16

1.3.1 可降阶的二阶方程 16

1.3.2 二阶线性方程通解的结构 18

1.3.3 二阶常系数线性齐次方程的通解 22

1.3.4 二阶常系数线性非齐次方程的特解与通解（待定系数法） 25

1.3.5 二阶常系数线性非齐次方程的特解（常数变易法） 30

1.3.6 特殊的二阶变系数线性方程 33

1.3.7 二阶变系数线性方程的幂级数解法 35

习题1.3 36

1.4 微分方程的应用 38

1.4.1 一阶微分方程的应用题 38

1.4.2 二阶微分方程的应用题 40

习题1.4 42

2 行列式与矩阵 44

2.1 行列式 45

2.1.1 n阶行列式的定义 45

2.1.2 行列式的性质 50

2.1.3 行列式的计算 55

习题2.1 61

2.2 矩阵的基本概念与运算 63

2.2.1 矩阵的基本概念 63

2.2.2 常用的特殊矩阵 64

2.2.3 矩阵的运算 66

2.2.4 分块矩阵 72

2.2.5 矩阵的行列式 76

习题2.2 79

2.3 矩阵的初等变换与初等矩阵 81

2.3.1 初等变换 81

2.3.2 初等矩阵 81

2.3.3 阶梯形矩阵 84

习题2.3 87

2.4 矩阵的秩 88

2.4.1 矩阵的秩的定义 88

2.4.2 用初等行变换求矩阵的秩 89

习题2.4 91

2.5 可逆矩阵与逆矩阵 92

2.5.1 可逆矩阵的定义 92

2.5.2 矩阵可逆的充要条件与伴随矩阵 93

2.5.3 乘积矩阵、转置矩阵与伴随矩阵的逆矩阵 96

2.5.4 用初等行变换求逆矩阵 100

2.5.5 克莱姆法则 101

2.5.6 用初等行变换解系数行列式不等于零的线性方程组 104

习题2.5 106

3 向量与线性方程组 109

3.1 向量组的线性相关性 109

3.1.1 向量组线性相关与线性无关的定义 109

3.1.2 线性相关与线性无关向量组的性质 114

习题3.1 117

3.2 向量组的极大无关组 119

3.2.1 极大无关组的定义 119

3.2.2 用初等行变换求极大无关组 120

3.2.3 向量组的秩 124

3.2.4 用初等行变换求向量组的秩 126

习题3.2 127

3.3 和秩定理与积秩定理 128

3.3.1 矩阵的列秩与行秩 128

3.3.2 和秩定理 129

3.3.3 积秩定理 129

习题3.3 133

3.4 向量空间与欧氏空间 134

3.4.1 向量空间基本概念 134

3.4.2 基变换与坐标变换 137

3.4.3 欧氏空间基本概念 142

3.4.4 施密特正交规范化方法 144

3.4.5 正交矩阵与正交变换 146

习题3.4 149

3.5 线性方程组解的属性 151

3.5.1 线性方程组的基本概念 151

3.5.2 线性方程组解的性质 153

3.5.3 线性方程组解的属性 153

习题3.5 160

3.6 线性方程组的通解 161

3.6.1 线性齐次方程组的基础解系 162

3.6.2 线性齐次方程组的通解 164

3.6.3 线性非齐次方程组的通解 168

习题3.6 172

4 特征值问题与二次型 175

4.1 特征值与特征向量 175

4.1.1 特征值与特征向量的定义 175

4.1.2 特征值与特征向量的求法 176

4.1.3 特征值与特征向量的性质 179

习题4.1 183

4.2 矩阵的相似对角化 185

4.2.1 相似矩阵 185

4.2.2 矩阵的相似对角化 187

4.2.3 矩阵在正交变换下的相似对角化 194

习题4.2 198

4.3 二次型的基本概念 200

4.3.1 二次型的矩阵表示 201

4.3.2 二次型的等价 203

习题4.3 204

4.4 矩阵的合同对角化 205

4.4.1 合同矩阵 205

4.4.2 矩阵的合同对角化 206

4.4.3 矩阵在正交变换下的合同对角化 209

习题4.4 211

4.5 二次型的标准型 212

4.5.1 二次型的标准型与规范型 212

4.5.2 化二次型为标准型的配方法 214

4.5.3 化二次型为标准型的正交变换法 215

4.5.4 化二次型为标准型的初等变换法 218

4.5.5 惯性定理 219

习题4.5 222

4.6 正定二次型与正定矩阵 224

4.6.1 二次型的分类 224

4.6.2 正定二次型与正定矩阵的判别法 224

习题4.6 228

5 线性空间与线性变换 230

5.1 线性空间的基本概念 230

5.1.1 线性空间的定义 230

5.1.2 线性空间的基与维数 232

5.1.3 向量的坐标 232

5.1.4 基变换公式与坐标变换公式 233

习题5.1 236

5.2 线性变换的基本概念 237

5.2.1 线性变换的定义 237

5.2.2 线性变换的矩阵 237

5.2.3 不同基下线性变换的矩阵间的关系 238

习题5.2 242

习题答案与提示 243