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第1章 复数与复变函数 1

1.1 复数的概念与运算 1

1.1.1 复数的概念 1

1.1.2 复数的代数运算及运算性质 1

1.1.3 复数的几何表示 2

1.1.4 复球面 5

1.1.5 复数的乘幂与方根 5

习题1.1 7

1.2 复变函数 7

1.2.1 预备知识 8

1.2.2 复变函数 10

习题1.2 10

1.3 复变函数的极限与连续性 11

1.3.1 复变函数的极限 11

1.3.2 复变函数的连续性 12

习题1.3 13

实验一 复数的表示与基本运算 13

第2章 解析函数 19

2.1 解析函数的概念及判定 19

2.1.1 复变函数的导数与微分 19

2.1.2 解析函数的概念 21

2.1.3 函数解析的充要条件 22

习题2.1 25

2.2 初等函数 25

2.2.1 指数函数 25

2.2.2 对数函数 26

2.2.3 幂函数 27

2.2.4 三角函数 28

2.2.5 反三角函数 29

习题2.2 29

2.3 调和函数 30

2.3.1 调和函数的概念 30

2.3.2 解析函数的表达式 30

习题2.3 31

实验二 复变函数的极限与导数 32

第3章 复变函数的积分 35

3.1 复变函数积分的概念 35

3.1.1 复变函数积分的定义 35

3.1.2 积分的存在定理及其计算公式 36

习题3.1 38

3.2 解析函数积分基本定理 38

3.2.1 柯西—古萨(Cauchy-Goursat)积分定理 38

3.2.2 不定积分 40

习题3.2 42

3.3 复合闭路定理 42

习题3.3 44

3.4 柯西积分公式与高阶导数公式 45

3.4.1 柯西积分公式 45

3.4.2 解析函数的高阶导数 47

习题3.4 48

实验三 复变函数的积分 49

第4章 级数 52

4.1 复数项级数 52

4.1.1 复数列的极限 52

4.1.2 复数项级数的收敛 53

习题4.1 55

4.2 幂级数 56

4.2.1 复变函数项级数的概念 56

4.2.2 幂级数 56

4.2.3 收敛圆与收敛半径 58

4.2.4 幂级数的运算和性质 59

习题4.2 60

4.3 泰勒级数与洛朗级数 61

4.3.1 泰勒级数及展开方法 61

4.3.2 洛朗级数及展开方法 63

习题4.3 68

实验四 函数的泰勒级数展开 69

第5章 留数 71

5.1 孤立奇点 71

5.1.1 孤立奇点的分类 71

5.1.2 函数的零点与极点的关系 74

5.1.3 函数在无穷远点的性态 75

习题5.1 76

5.2 留数及其应用 77

5.2.1 留数的概念 77

5.2.2 留数的计算 78

5.2.3 留数定理及其应用 80

5.2.4 在无穷远点的留数 81

习题5.2 82

5.3 留数在定积分计算上的应用 82

5.3.1 形如∫2π 0 R(cosθ,sinθ)dθ的积分 83

5.3.2 形如∫+∞ -∞ R(x)dx的积分 83

5.3.3 形如∫+∞ -∞ R(x)eaix dx(a〉0)的积分 85

习题5.3 85

实验五 留数的基本运算与闭曲线上的积分 86

第6章 共形映射 91

6.1 共形映射的概念 91

6.1.1 有向曲线的切向量 91

6.1.2 解析函数导数的几何意义 92

6.1.3 共形映射的定义 94

习题6.1 95

6.2 分式线性映射 95

6.2.1 分式线性映射的一般形式 96

6.2.2 分式线性映射的分解 96

6.2.3 分式线性映射的性质 98

6.2.4 唯一决定分式线性映射的条件 98

6.2.5 两个典型区域间的映射 99

习题6.2 101

6.3 几个初等函数所构成的映射 102

6.3.1 幂函数与根式函数 102

6.3.2 指数函数与对数函数 104

习题6.3 106

第7章 傅里叶变换 108

7.1 傅里叶积分 108

7.1.1 周期函数的傅里叶级数 108

7.1.2 非周期函数的傅里叶积分公式 109

7.1.3 傅里叶积分公式的变形形式 110

习题7.1 113

7.2 傅里叶变换的概念 113

7.2.1 傅里叶变换的定义 113

7.2.2 单位脉冲函数及其傅里叶变换 115

习题7.2 119

7.3 傅里叶变换的性质 119

7.3.1 线性性质 120

7.3.2 对称性质 120

7.3.3 相似性质 121

7.3.4 位移性质 121

7.3.5 微分性质 123

7.3.6 积分性质 123

7.3.7 卷积与卷积定理 124

7.3.8 乘积定理 125

7.3.9 自相关定理 126

习题7.3 126

实验六 傅里叶变换 127

第8章 拉普拉斯变换 131

8.1 拉普拉斯变换的概念 131

8.1.1 问题的提出 131

8.1.2 拉普拉斯变换的定义 132

8.1.3 拉普拉斯变换的存在定理 133

习题8.1 135

8.2 拉普拉斯变换的性质 135

8.2.1 线性性质 135

8.2.2 相似性质 136

8.2.3 位移性质 136

8.2.4 延迟性质 137

8.2.5 微分性质 137

8.2.6 积分性质 138

8.2.7 卷积与卷积定理 140

8.2.8 初值定理与终值定理 142

习题8.2 142

8.3 拉普拉斯逆变换 143

8.3.1 复反演积分公式 144

8.3.2 象原函数的求法 144

习题8.3 147

实验七 拉普拉斯变换 148

附录A 傅里叶变换简表 152

附录B 拉普拉斯变换简表 157

附录C Matlab简介 162

习题答案 176

参考文献 186