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第一章 集合 1

0.引言 1

1.集A与B，使A° ∪ B° ≠ （A∪ B）° 4

2.集A与B，使A∩B≠A∩B 4

3.集序列｛An｝，使∩∞n=1A°n≠（∩∞n=1An）° 5

4.集序列｛An｝，使∪∞n=1An≠∪∞n=1An 5

5.集A与B，使（A∩B）’≠A’∩B’ 5

6.集序列｛An｝，使（∪∞n=1An）’≠∪∞n=1A’n 6

7.使（F°）≠F的闭集F 6

8.使（G）°≠G的开集G 6

9.集A， B与映射f，使得f（A∩B）≠f（A）∩f（B） 6

10.集A， B与映射f，使B？A而f（AB）≠f（A）f（B） 7

11.f （A） ？ f （B）不蕴涵A？B的映射f 7

12.不闭的Fσ型集 7

13.不开的Gδ型集 7

14.一个不可数的实数集，它的每个闭子集都是可数的 7

15.直线上的仅由边界点所组成的不可数集 7

16.直线上的一个离散子集，它的闭包是一个不可数集 7

17.一个正实数无穷集E，对于它，不存在α＞0，使E ∩ （α，+∞）是无穷集 8

18.一个集，它的直到n-1阶导集非空，而n阶导集是空集 8

19.集E，它的各阶导集E’， E”，…， E（n），…两两相异，且∩∞n=1E（n）=？ 8

20.集A，它的各阶导集A’， A”，…， A（n），…两两相异，且∩∞n=1A（n）≠？ 9

21.集S和开集Gk， k=1， 2，…，使Gk在S中稠密，而∩∞k=1Gk在S中不稠密 9

22.直线上的两个不相交的处处稠密的不可数集 9

23.直线上的一列两两不相交的处处稠密的可数集 9

24.直线上的一列两两不相交的处处稠密的不可数集 10

25.直线上的一个处处稠密的渐缩集序列｛En｝，满足∩n=1En=？ 10

26.一个渐缩的非空有界开集序列，其交是空集 10

27.一个渐缩的无界闭集序列，其交是空集 10

28.一个紧集，它的导集是可数集 11

29.两个完备集，其交不是完备集 11

30.可数个完备集，其并不是完备集 11

31.完备的疏集 11

32.无理数的完备疏集 12

33.一个疏集序列，其并是稠密集 12

34.两个不相交的疏集，其中任一集的每个点都是另一集的聚点 12

35.一个第二纲的集，它的余集不是第一纲的集 12

36.一个有界闭集被诸闭区间覆盖而不能从中取出有限子覆盖 12

37. [0，1]中的两个不相交的稠密集A与B，满足[0， 1]=A∪B，且对任何α，β（0 ≤α＜β ≤ 1），交集（α，β） ∩ A与（α，β） ∩ B都具有连续统的势 13

38.任给势小于？的实数子集Q，有实数a，使对每一x∈ Q， x+a皆为无理数 13

第二章 函数 15

0.引言 15

1.一个发散序列｛an｝，使｛|an |｝收敛 17

2.两个非负的发散序列，其积却收敛于零 17

3.两个非负的发散序列，其和却是一个收敛序列 17

4.算术平均值收敛的发散序列 18

5.不是有界变差的收敛序列 18

6.对每个正整数p，都有limn→∞（an+p-an）=0的发散序列｛an ｝ 18

7.对任意严格递增的正整数序列｛φn｝=｛φ（n）｝，能使limn→∞（aφ（n）-an）=0的发散序列｛an ｝ 19

8.函数f，对于它，存在函数g使gof =I，而不存在函数h，使foh=I 19

9.函数f，对于它，存在无穷多个g适合fog=go f 20

10.在某点对称连续而不连续的函数 20

11.函数f，使f在x0的任何邻域内都是无界的，但当x→x0时f（x）并不趋于无穷大 20

12.没有最小正周期的非常值周期函数 21

13.一个处处不连续的非常值周期函数，它具有最小正周期 21

14.存在一个没有最小正周期的周期函数，它的值域是可数集 21

15.存在一个没有最小正周期的周期函数，它的值域是不可数集 22

16.存在两个具有不同周期的周期函数，其和仍是一个周期函数 22

17.存在两个具有最小正周期的函数，它们之间无可公度的周期，但其和（积）仍为周期函数 23

18.存在一个非周期函数f，使|f|是周期函数 25

19.处处有限而又处处局部无界的函数 26

20.一个无处连续函数，其绝对值却处处连续 26

21.有唯一个连续点的函数 26

22.关于乘积函数连续性的例子 26

23.关于复合函数连续性的例子 27

24.两个正则函数，构成非正则的复合函数 28

25. [0，1]的一个闭子集X0及X0到X0上的两个可换连续映射f， g，不存在f，g的可换连续扩张 29

26.函数y=f （u）， u=g（x）适合limu→Af （u）=B， limx→ag（x）=A，但limx→af [g（x）]不存在 29

27.函数y=f （u）和u=g（x），其复合函数f [g（x）]处处连续，并适合limu→b f （u）=c， limx→a g（x）=b， limx→af [g（x）] ≠ c 30

28.函数fn （x） （n=1， 2，…）在x0均连续，而f （x）=suPn fn （x）在x0间断 30

29.一个无处连续函数，其反函数却处处连续 31

30.有限区间上的一个一对一的连续函数，其反函数不连续 31

31.不能作为任何连续函数序列的极限的函数 31

32. [0，1]上的一个函数f，它的连续点所成之集在[0，1]中稠密，但f不是某个连续函数序列的极限 32

33. [0，1]上的一个具有不可数间断点的函数，它却是某个连续函数序列的极限 32

34.函数序列｛f（n）kn）｝，对于任意固定的n，当k→∞时｛f（n）k （x）｝处处收敛于f（n）（x），而当n→∞时｛f（n）（x）｝处处收敛于f（x），但｛f（n）k（x）｝的任何子列并不处处收敛于f（x） 33

35.仅在有理点间断的严格递增的函数 34

36.在Cantor集上连续而在它的邻接区间上无处连续的函数 35

37.在Cantor集上无处连续而在它的邻接区间上连续的函数 36

38.在任意给定的Fσ型集上间断的函数 37

39. [0，1]上的一个函数f，它的连续点所成之集A与间断点所成之集B在[0， 1]内都稠密，且对任何开区间（α，β）？[0，1]，交集A∩（α，β）与B∩（α，β）都具有连续统的势 37

40.不能在全轴上作连续扩张的有界集上的有界连续函数 38

41.以一个任意的非紧集为定义域的连续的无界函数 38

42.（0， +∞）上的一个实值函数f，它在无穷多个点上连续，且对每一x∈ （0，+∞），f （x）=0当且仅当f （2x）≠0 38

43. [0， +∞）上的一个连续且有界的函数，它在[0， +∞）上不一致连续 39

44.两个一致连续的函数，其积不一致连续 39

45.一个一致连续的函数，其反函数不一致连续 39

46.两个间断函数，其最小值函数却是一致连续的 39

47.在开区间I1与I2上均一致连续，但在I1 ∪ I2上不一致连续的函数 40

48.两个单调函数f，g，其中f连续而g间断，但复合函数fog却是连续的单调函数 40

49.两个区间之间一个无处单调的一一对应 41

50.两个严格递增的函数，其积不是单调函数 41

51.无处单调的连续函数 41

52.以一个任意的非紧集为定义域的连续的有界函数，它没有极值 42

53.定义域为紧集的没有局部极值的有界函数 42

54.有无穷多个局部极大值而无局部极小值的函数 42

55.处处取得局部极小值的非常值函数 43

56.在每个区间上有一个真正局部极大的函数 43

57.具有介值性质的间断函数 44

58.两个具有介值性质的函数，其和却没有介值性质 45

59.定义在[0， 1]内而取值于[0， 1]中的一个无处连续函数，它在每个任意小的非空子区间上都取尽[0， 1]中的一切值 45

60.一个无处连续的开函数，它在任何区间上都不具有介值性质 46

61.一个无处连续函数f，而具有性质f （x+y） = f（x） + f（y） 46

62.若干个半连续函数，它们的和是一个无处半连续的函数 47

63.两个半连续函数，其最小值函数并不半连续 48

64.无处半连续的函数 48

65.无处连续而又处处半连续的函数 48

66.一个收敛的上半连续函数序列，其极限函数并不上半连续 48

67.一个不连续映射，使开集的像是开集 49

68.一个连续映射，使某个无界闭集的像不是闭集 49

69.一个疏集A，以及从A到单位闭区间[0， 1]上的一个连续映射 50

第三章 微分 51

0.引言 51

1.仅在一点连续并可微的函数 52

2.存在一个可微函数f，而其绝对值函数|f|并不可微 52

3.一个无处可微函数f，使limn→∞n[f （x+1/n）-f （x）]存在 52

4.关于乘积函数可微性的例子 53

5.关于复合函数可微性的例子 53

6.处处有导数（不必有限）的不连续函数 54

7.两个在点x0均可微，而使max｛f，g｝与min｛f，g｝在x0都不可微的函数f和g 55

8. [a， b]上的函数f，它满足Rolle定理的三个条件中任两个条件，但不存在ξ∈（a，b），使f’（ξ）=0 55

9.函数f，它在[a， b]上有连续的导函数f’，但对[a， b]内某点ξ，不存在x1， x2，使得f（x2）-f（x1）/x2-x1=f’（ξ）， x1＜ξ＜x2 56

10.中值定理失效的可微复值函数 56

11. L’Hospital法则失效的复值函数的不等式 57

12.一个在某点有极值的无穷可微函数，它的各阶导数在该点的值全都是零 57

13.一个连续函数，它在原点的每个邻域内有无穷多个局部极值 58

14.函数f，使limh→0 [ f （x+h）+f （x-h）-2f （x）]/h2存在而f”（x）不存在 58

15. [0，1]上的一个可微函数，其导数在无理点连续而在有理点间断 59

16. [0，1]上的一个可微函数，其导数在已给的非空完备疏集上无处连续 59

17.一个具有连续导数的严格递增函数，其导数在已给的完备疏集上恒为零 60

18.一个严格递增的连续函数，它不处处可微 60

19.一个单调函数，其导函数并不单调 61

20. R1上的一个严格单调的有界可微函数f，使limx→±∞f’（x）≠0 61

21.一个在某点有极值的可微函数，它在该点的左右两侧都不是单调的 62

22.一个可微函数f，使f’（x0）＞ 0，但f在包含点x0的任何开区间内都不是单调的 62

23.函数f，使f （x）与f（x）=limh→0[f（x+h）-f （x-h）]/（2h）在x=x0都连续而f’（x0）并不存在 62

24.一个可微函数f，当x为有理数时，f （x）为有理数，而f’（x）为无理数 63

25. （0，1）上的一个可微函数f，使limx→0+ f （x）=∞，但limx→0+ f’（x）=∞并不成立 63

26. （0，1）上的一个可微函数f，使f在（0，1）上有界而f’在（0，1）上无界 63

27.在已知点a1，a2，…， an没有导数的连续函数 64

28.在无理点可微而在有理点不可微的连续函数 64

29.处处连续而无处可微的函数 65

30.处处连续而仅在一点可微的函数 68

31.任给Gδ型的可数集E，可构造非减函数f，其导数满足条件：f’ （x）=∞（x ∈ E），f’（x）=0 （x∈E） 69

32.无处存在单侧导数（有限或无穷）的连续函数 69

33. [0，1]上的一个无穷可微函数f，使｛x：f （x）=0｝为不可数的疏集 72

34.函数f，使f ∈ Hα [a， b]，而f∈ Hβ [a， b]， 0＜α＜β 72

35.函数f，使f ∈H1（-∞， +∞），而对任何α（0＜α＜1）， f∈Hα（-∞， +∞） 72

36.满足α阶Holder条件的无处可微的连续函数 72

37.不满足任何阶Holder条件的可微函数 73

38.处处可微而无处单调的函数 73

39.在每个非空区间上都能取得局部极大值和局部极小值的可微函数 77

40.满足Lipschitz条件而无处单调的函数 77

第四章 Riemann积分 79

0.引言 79

1.函数f，使|f|（R）可积而f不（R）可积 80

2.没有原函数的（R）可积函数 81

3.在任何区间上都没有原函数的（R）可积函数 81

4.在闭区间上有原函数但不（R）可积的函数 81

5.以任意零测度的Fσ集作为间断点集的（R）可积函数 82

6.与（R）可积函数对等但本身并不（R）可积的函数 82

7.一个（R）可积函数，在某个可数集上任意改变它的值（但这些数值全体要组成有界集合），而不影响它的可积性 82

8.复合函数是否（R）可积的各种实例 83

9.两个函数f与g，使f2与g2皆（R）可积而（f +g）2并不（R）可积 85

10.一个有界函数序列的极限，它在任何非空区间上都不（R）可积 86

11.一个（R）可积函数序列，其上确界函数并不（R）可积 86

12.积分的极限不等于极限的积分的函数序列 86

13.一个（R）可积函数f，使g（x）=∫x0 f （t）dt处处可微，但在一个稠密集上，g’（x）≠ f（x） 87

14.一个（R）可积函数f，使g （x）=∫0x f （t） dt不处处可微 87

15.函数f和g，使得f在[a， b]上（R）可积，g在[a， b]上不变号且（R）可积，而在（a， b）中不存在满足等式∫baf（x）g（x）dx=f（ξ）∫bag（x）dx的ξ 88

16.函数f和g，使∫ca f （x） dg（x）和∫ba f（x）dg（x）均存在，而∫baf（x）dg（x）不存在（a＜c＜b） 88

17.函数f和g，使∫a f （x） dg（x）存在，但改变f在某个点的值，∫ba f（x）dg（x）就不存在 89

18. （0’ l）上的一个无界函数，其广义（R）积分∫ 10 f （x）dx不是对应的积分和式∑n-i i=0 f （ξi）△xi的极限 89

19. （0，1）内的一个单调函数f，使limn→∞∑n-1 k=1 1/n f（k/n）存在而f并不广义（R）可积 90

20.收敛而不绝对收敛的广义积分 90

21.函数f和g，使f广义（R）可积而g有界，但fg并不广义（R）可积 91

22. [0， +∞）上的一个函数，它在（0， +∞）的任何有限子区间上取正值、有界、可积，并且积分∫0+∞（f（x））αdx当α=1时收敛，而当α为不等于1的实数时发散 92

23.函数f，使|f|广义（R）可积而x2并不广义（R）可积 92

24. [1， +∞）上的一个函数f，使f2广义（R）可积而|f|并不广义（R）可积 93

25.在[1， +∞）上广义（R）可积的正值连续函数f，使limx→+∞f （x）≠ 0 93

26.广义积分∫+∞0 f （x）dx收敛而在每个区间[a，+∞）（a ＞ 0）上f （x）是无界、非负连续函数 94

27.一个有理函数R，使对任何在（-∞，+∞）上广义（R）可积函数f，都有∫+∞ -8f[R（x）]dx=∫+∞ -8 f（x）dx 94

28. Cauchy主值为有限的发散广义积分 94

第五章 无穷级数 95

0.引言 95

1.一个收敛级数∑∞n=1 an，使∑∞n=1a2n发散 97

2.一个发散的正项级数∑∞n=1 an，使∑∞n=1a2n收敛 97

3.一个发散级数∑∞n=1 an，使对每一k≥2，级数∑∞n=2 akn都收敛 97

4.一个收敛的正项级数∑∞n=1an，使∑∞n=1？an/？n发散 98

5.一个发散级数∑∞n=1an，使∑∞n=1（a2n-1+a2n）收敛 98

6.级数∑∞n=1an收敛且limn→∞bn/an=1，而级数∑∞n=1bn却发散 98

7.任给一个发散的正项级数∑∞n=1 an，可以找到一个收敛于零的正数序列｛cn｝，使∑∞n=1 cnan仍然发散 98

8.任给一个收敛的正项级数∑∞n=1 an，可以找到一个收敛于零的正数序列｛cn｝，使∑∞n=1 an/cn仍然收敛 99

9.给定使lim n→∞bn=0的正数序列｛bn｝，有一个正项发散级数∑∞n=1an，适合limn→∞an=0且limn→∞ an/bn=0 100

10.给定使limn bn=0的正数序列｛bn｝，有一个正项收敛级数∑∞n=1an，适合limn→∞ an/bn=+∞ 100

11.给定一个满足limn→∞cn=0的正数序列｛cn｝，有一个正项收敛级数∑∞n=1an和一个正项发散级数∑∞n=1bn，能使an/bn=cn 100

12.任给正数s，可以找到一个正项级数∑∞n=1 an，使对任何正数σ（0＜σ≤s），都可以用一个无穷子级数来表示：∑∞n=1 ank=σ 100

13.一个正项级数，使任何正有理数都是它的有限个不同项之和 101

14.通项趋于零而发散的交错级数 102

15.一个发散级数∑∞n=1 an，其部分和序列有界且limn→∞an=0 103

16.根检法失效的级数 103

17.比检法失效的级数 103

18. limn→∞n？an存在而limn→∞ an+1/an不存在的正项级数∑∞n=1an 104

19.两个收敛级数，其Cauchy乘积级数发散 104

20.两个条件收敛级数，其Cauchy乘积级数绝对收敛 105

21.两个发散级数，其Cauchy乘积级数绝对收敛 105

22.一个发散级数∑∞n=1 an，使当p=1， 2， 3，…时，limn→∞（an+1+ an+2 + …+an+p）=0 106

23.具有发散重排的收敛级数 106

24.存在一个发散级数，用重排不可能加快其发散程度 107

25.存在一个发散级数，用重排可以任意减慢其发散程度 108

26.一个实数序列｛an｝，使级数∑∞n=1aln 当l=5时发散，而当l不等于5的任何奇正数时收敛 109

27.一个收敛级数∑∞n=1an，使形如ak+ak+l+ak+2l+ak+3l+…的子级数（下标成等差级数，k，l为正整数）都收敛，而∑∞n=1an并不绝对收敛 109

28.一个收敛级数∑∞n=1 an，使形如ak+akl+akl2+…的子级数（下标成几何级数，k≤1， l≤2均为正整数）都收敛，而∑∞n=1an并不绝对收敛 109

29.任意地划分奇正整数集为两个没有公共元素的子集D和C，一个实数序列｛an｝，使当l∈C时级数∑∞n=1aln收敛，而当l∈D时∑∞n=1aln发散 110

30.对于任一条件收敛级数∑∞n=1an和任一实数x，存在序列｛εn｝，其中|εn|=1.n=1，2，…，能使∑∞n=1 εnan = x 110

31.非绝对收敛级数，适当地引进括号后变成绝对收敛级数 110

32.收敛而不绝对收敛的无穷乘积 111

33.一个发散级数∑∞n=1 an，使无穷乘积∏∞n=1（1+an）收敛 111

34.级数∑∞n=2an和∑∞n=2a2n都发散，而无穷乘积∏∞n=1（1+an）却收敛 112

35. [1， +∞）上的正值连续函数f，使∫+∞1 f（x）dx收敛而∑∞n= 1 f（n）发散 113

36. [1， +∞）上的正值连续函数f，使∫+∞1 f（x）dx发散而∑n ∞=1 f（n）收敛 113

37.给定[0， 1）上满足条件limx→1 f （x） = +∞的正值连续函数f，可构造具有非负系数的幂级数P，适合P（x）＜f （x）且limx→1 P（x）=+∞ 114

38. [0，1）上的一个适合条件f（0）＞0且∫1 0 f （x）dx=+∞的递增连续函数f ，使对任何具有非负系数的幂级数P，若P（x） ≤ f （x），则∫ 1 0 P（x）dx ＜ +∞ 114

39一个函数，它的Maclaurin级数处处收敛，但仅在一点与这个函数相合 115

40.一个函数，它的Maclaurin级数仅在一点收敛 116

第六章 一致收敛 119

0.引言 119

1.在各个Ek （k = 1， 2，…）上一致收敛，而在∪∞k1Ek上不一致收敛的函数序列 120

2.一个在紧集上一致有界的连续函数序列，而不存在逐点收敛的子列 120

3.一个一致有界且处处收敛的连续函数序列，它没有一致收敛的子列 121

4.一个有界函数序列，它处处收敛于一个无界函数 121

5.一个不一致有界的函数序列，它处处收敛于一个有界函数 122

6.一个连续函数序列的非一致极限，它在一个稠密集上无处连续 122

7.一个连续函数序列，它的非一致极限也是一个连续函数 123

8.一个递减的连续函数序列，它处处收敛于某个连续函数，但并不一致收敛 124

9.一个无处连续的函数序列，它一致收敛于一个处处连续的函数 124

10.收敛而无处一致收敛的连续函数序列 124

11.一个各项间断的函数项级数收敛于一个连续函数，但无处一致收敛 125

12.一个正整数序列a1 ＜ a2＜…及紧集C，使对任意x ∈ C， sin anx → 0（n→∞），而｛sin anx｝在C上并不一致收敛 126

13.给定[0， +∞）上的实值函数f，适合f （0）=0， f （1）≠ 0， limn→∞f （n）=0，可构造正整数序列｛an｝及紧集C，使｛f（anx）｝在C上收敛而非一致收敛 127

14.两个一致收敛的函数序列，其乘积序列不一致收敛 127

15.一个连续函数序列｛fn｝，它在[0，1]上一致收敛于f，然而，fn的弧长的极限不等于f的弧长 127

16.通项一致趋于零但不一致收敛的函数项级数 127

17.通用的连续函数序列 128

18.一个一致收敛的函数项级数，具有不一致收敛的重排 129

19.一个一致收敛的函数项级数，却无处绝对收敛 129

20.级数∑∞n=1 un （x）绝对并一致收敛，而∑∞n=1 |un（x）|并不一致收敛 130

21.一个绝对并一致收敛的函数项级数，它无任何正项数值优级数 131

22.一个一致收敛的可微函数序列，其导函数序列的极限不等于极限函数的导数 132

23.一个一致收敛的无穷可微函数序列，其导函数序列无处收敛 133

24.一个非一致收敛的可微函数序列，其导函数序列的极限等于极限函数的导数 133

25. [0， +∞）上的一个一致收敛于零的广义（R）可积函数序列｛fn｝，而使数列｛∫+∞0 fn（x）dx｝发散 133

26. [1， +∞）上的一个一致收敛的广义（R）可积函数序列，其极限函数并不广义（R）可积 134

第七章 点集的测度 135

0.引言 135

1.一个渐缩的可测集序列｛En｝，使m（limn→∞ En） ≠ limn→∞ mEn 137

2.一个含于有限区间中的可测集序列｛En｝，使limn→∞ mEn存在，但m（lim n→∞En）≠ m（limn→∞ En） 137

3.一个可测集序列｛En｝，使m（limn→∞En）＜limn→∞ mEn 138

4.测度为零的不可数集 138

5.任给实数a （0＜a＜1），在[0， 1]中可构造一个测度为a的完备疏集 139

6.直线上的一个稠密开集，它的余集的测度为无穷大 139

7.一个开集，它的测度不等于它的闭包的测度 139

8.一个可数的疏集，其闭包具有正测度 140

9.使得每个实数都是凝聚点的零测度集 140

10. [0，1]中测度等于1的第一纲集 140

11. [0，1]中测度等于零的第二纲集 140

12. [0，1]内一个两两不相交的完备疏集序列，其并集的测度为1 140

13. [0，1]中测度为零的不可数的稠密集 141

14. [0，1]中的一个可测集E，使对任一非空开区间I ？ [0，1]，恒有m（I ∩ E）＞0， m（I ∩ Ec）＞0 141

15.不可测集 143

16.一个两两不相交的集序列｛An｝，使m*（∪n=1 An）＜∑∞n=1 m* An 145

17.一族可测集，其并集不可测 145

18.一族可测集，其交集不可测 146

19.一个有界的零测度集E，使E+E为一不可测集 146

20. R1的一个子集A，使A和Ac的每一可测子集其测度均为零 147

21.对每一有理数a，使｛x：f（x） = a｝均为不可测集的函数f 148

22. [0，1]内的一个不可测集M，使m*M=0， m*M=1 149

23.导数几乎处处为零的单调的连续函数 150

24.函数f和g具有相同的导数，而f和g并不相差一个常数 151

25.导数几乎处处为零的严格单调的连续函数 152

26.闭区间上具有原函数的有界函数而不（R）可积 155

27.（R）可积函数f和连续函数g，构成不（R）可积的复合函数f o g 156

28.一个收敛的单调一致有界的连续函数序列，其极限函数不（R）可积 157

29. [0，1]上的一个可微函数g，使g”（0）存在，而对任何b＞0， g’在[0， b]上并不（R）可积 158

30.一个同胚映射，它把一个测度为零的集映成测度大于零的集 158

31. [0，1]上的一个严格递增的连续函数？和集A ？ [0， 1]，使mA=0而m？（A）=1 160

32.对任一完备疏集E ？ [0， 1]，一个从[0， 1]到[0，1]上的同胚映射f，使mf （E）=0 162

33.可测的非Borel集 163

34.一个同胚映射，它把一个可测集映成不可测集 163

35.一个Borel测度为零的集，其中含有非Borel可测集 163

36.两个Borel可测集B1， B2，使得B1-B2=｛x-y：x ∈ B1，y ∈ B2｝不是Borel可测的 164

37.两个同胚的实数集，其中一个是第一纲集而另一个是第二纲集 164

38.两个同胚的实数集，其中一个是稠密集而另一个是疏集 165

39.定义于R1上的一个几乎处处为零的函数，它在每个非空开区间上的值域都是R1 165

40. R1上的一个函数，它的图形在平面内稠密 165

第八章 可测函数 167

0.引言 167

1.一个收敛的递增的简单函数序列，其极限函数不是简单函数 169

2.一个非零函数，它与任何函数之积恒为可测函数 169

3.一个不可测函数，其绝对值是可测函数 170

4.一族可测函数，其上确界函数并不可测 170

5. R1上的一个可测函数f，使supt∈R1 |f （x + t）-f（x-t）|不可测 170

6.一个在任何（L）正测度集上均非（L）可测的函数，它在任何非空区间上取每个实数作为函数值可达？次 171

7.函数f，使对任意实数a， E[x：f （x）=a]恒为可测集，而f在E上并不可测 172

8.可测函数f和连续函数g，构成不可测的复合函数f og 172

9.可测函数f和递增函数g，构成不可测的复合函数f o g 172

10. [a， b]上的一个一致有界的不可测函数序列｛fn｝，使对任一不可数集A ？[a， b]， ｛fn｝中不存在在A上收敛的子列 173

11.任给趋于零的数列｛αn｝，可构造一个有界可测函数f，使｛f （x-αn）｝并不几乎处处收敛于f （x） 173

12. EгopoB定理的结论不能加强为除掉一个测度为零的集外，｛ fn｝一致收敛于f 174

13. R1上的一个函数序列，使EгopoB定理不成立 175

14.一个不可测函数序列，使EгopoB定理不成立 175

15.一族函数｛ft （x）｝（t ≥ 2），对每一固定的t，它是x的可测函数，而对每一固定的x，它是t的可测函数，且limt→+∞ft（x） = 0，但｛ft （x）｝并不近一致收敛 176

16. [0，1]上的一个连续函数，它在[0， 1]上几乎处处取有理数值，而在任何非空子区间上均非常值函数 177

17.一个无处连续的可测函数，不论怎样改变此函数在任何测度为零的集上的值，它仍然是无处连续的 179

18.不能把Луэин定理中的连续函数改为多项式 179

19. [0， +∞）上的函数序列｛fn｝和｛gn｝，使｛gn｝和｛gn｝在[0，+∞）上分别依测度收敛于f和g，而｛fngn｝在[0， +∞）上并不依测度收敛于fg 180

20.一个依测度收敛的可测函数序列｛？n｝和连续函数F，而构成并不依测度收敛的复合函数序列｛Fo？n｝ 180

21.一个无处连续的（L）可测函数，它不是（B）可测的 181

22.两个函数仅在一个（B）测度为零的集上彼此相异，其中一个（B）可测而另一个非（B）可测 181

23.不与第一类函数中的任何一个函数对等的可测函数 182

24.属于不同类的两个函数，而有相同的间断点 184

25.一个Fσ型集的特征函数，它不是第一类函数 184

26.一个（R）可积函数，它不是第一类的函数 184

27.不与（R）可积函数对等的有界可测函数 185

第九章 Lebesgue积分 187

0.引言 187

1. [0， 1]上的一个（L）可积函数f，使∑∞n=1 nmE[x：f （x）≥n]=+∞ 190

2. [0， +∞）上的一个非负连续的（L）可积函数f，使limx→+∞ f （x）=0不成立 191

3.可测集E上的非负有界可测函数序列｛fn｝，使limn→∞∫E fn（x）dx=0，而｛fn｝却无处收敛于零 191

4. [0，1]上的一个实值连续函数序列｛fn ｝，使f1 （x）≥f2 （x）≥…≥0，且若有连续函数f适合fn（x）≥f （x）≥0 （n=1，2，…），则f？0.但limn→∞∫0 fn （x） dx ≠ 0 192

5.一个在E上并不依测度收敛于零的函数序列｛fn｝，使对每一可测集e？E，都有limn→∞∫e fn （x）dx=0 193

6.任给趋于零的数列｛an｝，可构造一个非负可测函数序列｛fn｝，使∑∞n=1 an ∫Efn （x） dx收敛，而｛fn｝在E上无处收敛于零 194

7.一个（L）可积函数f和有限个区间的并集I（n），使limn→∞ ∫I（n） f （x） cos nxdx≠0 195

8. （L）可积而不（R）可积的有界函数 196

9.广义（R）可积而不（L）可积的函数 196

10. （L）可积而不广义（R）可积的非负函数 197

11.任给非几乎处处有界函数f，可构造一个（L）可积函数g，使fg不（L）可积 197

12. [0，1]上的一个有界可测函数f，使对任何（R）可积函数g，都有∫ [0，1] |f （x） -g（x） |dx＞0 198

13.在每个子集上都（L）可积，但在并集上并不（L）可积的函数 198

14. R1上的一个非负（L）可测函数f，使对任何区间（a， b） （a＜b）及r∈R1，恒有m｛（a，b） ∩ ｛x：f （x）≥r｝｝＞0，但∫R 1f（x）dx ≠ +∞ 199

15.函数f，处处适合0≤f（x）＜+∞，但在每个非空开区间（a， b）上，∫ba f（x）dx=+∞ 199

16.任给f ∈ L [a， b]，可构造集A ？ [a， b]，使mA=b-a，且对任一r∈R1和任一x∈A，都有limh→0 1/h∫x+h x | f （t）-r|dt=|f （x）-r| 200

17. [0， +∞）上的一个非负的上半连续函数f，使∫+∞ 0 f （x）dx=+∞，而对每一h＞0，有∑∞ n=1 f （nh）＜+∞ 201

18. R1上的一个一致有界的（L）可测函数序列｛fn｝，使对任何区间[a， b]， ｛fn ｝中都不存在在[a， b]上几乎处处收敛的子列 201

19. Lebesgue有界收敛定理中mE＜+∞的条件不可去掉 203

20. Lebesgue有界收敛定理中函数序列一致有界的条件不可去掉 203

21. Lebesgue控制收敛定理中控制函数的可积性的条件不可去掉 203

22. Vitali定理中mE＜+∞的条件不可去掉 204

23.使Fatou引理中等号不成立的函数序列 204

24.一个变号的收敛可测函数序列，使Fatou引理的结论不成立 205

25. Levi定理中函数序列非负性的条件不可去掉 205

26.两个平方（L）可积的函数，它们的和不是平方（L）可积的 206

27.一个非负函数f，使f ∈ L21， +∞），但∫+∞1 f（x）/？x dx = +∞ 206

28.不属于任何Lp （0， 1） （p ＞ 0）的非负可测函数 207

29.属于Lp-δ（0， a）而不属于Lp （0， a）的非负可测函数，其中0＜δ＜p 207

30.属于L2 （0， +∞）而不属于任何Lp （0， +∞） （p ＞ 0， p≠2）的非负可测函数 207

31.函数f和g，使｛∫E| f （x）+g（x）|pdx｝1/p＞｛∫E|f（x）|pdx｝1/p +｛∫E|g（x）|pdx｝1/p，这里，0＜p＜1 208

32.连续单调函数g和连续函数f，适合∫01 f （x）dg （x） ≠ ∫0 f（x）g’（x）dx 208

33.函数f与g，使f关于g是Lebesgue-Stieltjes可积而不是Riemann-Stieltjes可积 208

34.使limp→+∞|| f|| Lp（E）=||f||L∞（E）不成立的函数f 208

35. L∞ （R1）中的一个函数f，使不存在R1上的连续函数序列｛fn｝，适合limn→∞||f-fn||L∞（R1） = 0 209

36. R1上的一个非负（L）可积函数，使对任何非空区间[a， b]，它在[a， b]上都不是本性有界的 209

37.一个（L）可积函数，它的某个近似连续点不是Lebesgue点 210

38.存在函数f，使f（x0）是其不定积分在x0的导数，但f在点x0并不近似连续 211

第十章 不同意义收敛的函数序列 213

0.引言 213

1.几乎处处收敛与测度收敛之间的关系 214

2.近一致收敛与几乎处处收敛之间的关系 216

3.一致收敛与平均收敛之间的关系 216

4.几乎处处收敛与平均收敛互不蕴涵 217

5.几乎处处收敛与弱收敛互不蕴涵 218

6.测度收敛与弱收敛互不蕴涵 218

7.近一致收敛与平均收敛互不蕴涵 219

8.测度收敛而非近一致收敛的函数序列 219

9.弱收敛而非平均收敛的函数序列 219

10.r次幂平均收敛而不p（1≤r＜p）次幂平均收敛的函数序列 220

11. [0， 1]上的一个函数序列｛fn｝，适合||fn ||Lr[0，1]≤M （n=1， 2， …）， ｛fn｝在[0， 1]上处处收敛于f，但limn→∞||fn-f ||Lr[0 1] ≠ 0 220

12.一个在E上几乎处处收敛于f的函数序列｛fn｝ ？ L（E），使supn ||fn||=K＜+∞，而｛fn｝并不弱收敛于f 221

13. R1上的一个（L）可积的连续函数序列｛fn｝，适合（i） lim|x|→∞fn（x）=0，（ii） suPn ||fn||L（R1）＜+∞， （iii） ｛fn｝在R1上一致收敛于f，但｛fn｝中不存在子列｛fnk｝使limk→∞ || fnk-f||L（R1）=0 222

第十一章 有界变差函数与绝对连续函数 223

0.引言 223

1.一个非有界变差函数，其绝对值是有界变差函数 224

2.全变差为无穷大的可微函数 225

3.不满足任何阶Holder条件的有界变差函数 225

4.满足α（0＜α＜1）阶Holder条件而不是有界变差的函数 226

5.不满足任何α（α＞0）阶Holder条件且不是有界变差的连续函数 228

6.在[0，1]上连续而在[0，1]的任一非空子区间上皆非有界变差的函数 229

7.在[0， 1]上有界变差而在[0，1]的任一非空子区间上都不连续的函数 230

8.两个有界变差函数，构成非有界变差的复合函数 230

9.两个皆非有界变差的函数，构成有界变差的复合函数 230

10.一个有界变差函数序列，其上确界函数并不有界变差 231

11.一个一致收敛的有界变差函数序列，其极限函数并不有界变差 231

12.一个不是有界变差的函数序列，却一致收敛于一个有界变差函数 232

13.一个有界变差函数序列，它的任何子列都有不收敛的点 232

14.一个有界变差函数序列，其全变差并不一致有界，但有收敛的子列 233

15.任给不连续函数f，可构造一个有界变差函数g，使f关于g的积分∫a f （x）dg（x）不存在 233

16.任给全变差为无穷大的函数g，可构造一个连续函数f，使f关于g的积分∫b a f（x）dg（x）不存在 234

17.一个一致收敛的有界变差的函数项级数，而不能几乎处处逐项微分 235

18.一个可微的有界变差函数f，使V （x）=∫x 0 |f’（t）|dt不可微 236

19. [0， 1]上的一个有界变差函数f，使V1 0 （f） ∫+∞-∞K（y）dy，其中K（y）代表适合f （x）=y的x的个数 237

20.非常值的局部循环的无处单调的有界变差函数 237

21. [0，2π)上的一个一致收敛于某个有界变差函数f的有界变差函数序列｛fn ｝，使limn→∞V2 π0（fn） ≠ V2π0（f） 238

22. [0，1]上的一个可微函数f，使Z=｛x：f’（x）=0｝及Zc均在[0，1]中稠密，但f’在[0，1]上并不（L）可积 238

23. [0，1]上的一个可微函数f，使f’有界且Z=｛x：f’ （x）=0｝及Zc在[0，1]内稠密，Z≠｛x：f’在x连续｝ 240

24.一个绝对连续函数f，使|f|p （0＜p＜1）不是绝对连续函数 240

25.一致连续而不绝对连续的函数 241

26.两个绝对连续函数，构成不绝对连续的复合函数 241

27.两个皆非绝对连续的函数，而构成绝对连续的复合函数 242

28.不满足某些Holder条件的绝对连续函数 242

29.无处单调的绝对连续函数 242

30.一个可微函数，其导数在任何非空区间上（L）可积而不（R）可积 243

31.一个具有性质（N）的函数，它不是绝对连续的函数 243

32.一个一致收敛的绝对连续函数序列，其极限函数并不绝对连续 244

33.一个不是绝对连续的函数序列，却一致收敛于一个绝对连续的函数 245

34.任给[0，1]中测度为零的集E，可构造[0，1]上的一个不减的绝对连续函数f，使对每一x∈E，都有f’（x）=+∞ 245

35.一个严格递增的连续函数，它并不绝对连续 246

36.一个在[0， 1]上严格递增的连续函数，它在任何非空区间[α， β]？[0，1]上都不是绝对连续的 246

37.一个严格递增的绝对连续函数，它把某个测度大于零的集映成测度等于零的集 246

38.一个严格递增的绝对连续函数，其反函数并不绝对连续 248

第十二章 Fourier级数 249

0.引言 249

1. Dini判敛法和Jordan判敛法互不蕴涵 252

2. Young判敛法与Dini判敛法互不蕴涵 253

3. Young判敛法与de la Vallee Poussin判敛法互不蕴涵 253

4. Jordan判敛法失效但能用de la Vallee Poussin判敛法的Fourier级数 254

5. Jordan判敛法失效但能用Young判敛法的Fourier级数 255

6. Dini判敛法失效但能用de la Vallee Poussin判敛法的Fourier级数 255

7.一个处处收敛的三角级数，其和函数并不（L）可积 255

8.一个收敛的三角级数，它不是某个（L）可积函数的Fourier级数 255

9.一个三角级数，它不是Fourier-Lebesgue级数，但却是Fourier-Stieltjes级数 255

10.任给趋于零的正数序列｛εn｝，可构造连续函数f，使f的Fourier系数有以下关系：|an |≥εn或|bn|≥εn对无穷多个n成立 256

11.一个（R）可积函数，其Fourier-Riemann系数并不趋向于零 257

12.任给数列｛λn｝， limn→∞λn=+∞， λn=o（n），可构造（R）可积函数f，它的Fourier-Riemann系数bn＞λn对无穷多个n成立 257

13.一个连续函数f，使对任何ε＞0，级数∑№2（|an|2-ε+|bn|2-ε）发散，其中an， bn是f的Fourier系数 258

14. Hα[0， 2π] （0＜α≤1）中的一个函数f，使级数∑№2（|an|β+|bn|β）发散，其中β=2/（2α + 1） 259

15. H 1/2 [0，＜α＜1]中的一个函数，其Fourier级数并不绝对收敛 260

16.一个三角级数，它在某个可数集上收敛，但其系数并不趋向于零 260

17.系数趋于零而又处处发散的三角级数 261

18. Hα[0，2π] （0＜α＜1）中的一个函数，其Fourier系数cn ≠ o（n-α） 262

19.一个连续的有界变差函数，其Fourier系数不等于o（1/n） 262

20.一个余弦级数，其系数单调递减且趋向于零，但其和函数并不（L）可积 264

21.一个有界变差函数，其Fourier级数并不绝对收敛 265

22.一个（L）可积函数f，使级数∑№1an/n发散，其中an=1/π∫π-π f （x） cos nxdx 265

23.一个以2π为周期的连续函数，其Fourier级数仅仅在x=0 （mod 2π）这些点发散，而在x≠0（mod2π）各点收敛 266

24. L [0， 2π]中的一个函数f，其Fourier级数在[0，2π]上几乎处处无界发散 267

25.一个Fourier级数，其共轭级数不是Fourier级数 271

26.一个（L）可积函数，其共轭函数在任何非空闭区间上都不（L）可积 273

27. L[0， 2π]中的一个函数，其Fourier级数在[0，2π]上几乎处处有界发散 273

28.L（ln+ ln+L）1-ε中的一个函数，其Fourier级数几乎处处发散 278

29. [0，2π]上的一个（L）可积函数f，它的共轭函数f也是（L）可积的，并且f与f的Fourier级数在[0，2π]上都是几乎处处发散的 278

30.任给Fσ型集E？[0，2π]，可构造函数f∈L[0， 2π]，它的Fourier级数在E上收敛，而在[0，2π] E上为无界发散 283

第十三章 平面点集 285

0.引言 285

1.序列｛xn｝与｛yn｝均有聚点，而｛（xn，yn）｝没有聚点 287

2.一个可数集E，使E’具有连续统的势，且E∩E’=？ 287

3.具有不可数闭包的孤立点集 287

4.距离为零的两个不相交的闭集 287

5.平面上的一个开集，它不能表成有限个或可数个两两不相交的开区间的并集 287

6.单位正方形内的一个可测子集，它不能表成可数个“矩形”的并集 289

7.一个平面点集E，一方面E可表成两个不相交的集A与B的并，另一方面，E分别与A及B可合 289

8.平面完备疏集※Sierpinski地毯、Sierpinski墓垛和Cantor栉 289

9.任给实数a（0＜a＜1），可在[0， 1] × [0，1]中构造一个完备疏集E，满足mE=a 292

10. Sierpinski连续点集 293

11.平面上的一个（L）可测集，它在坐标轴上的射影都不是（L）可测的 294

12.单位正方形[0， 1] × [0，1]内的一个子集，它在[0，1] × [0，1]内稠密，但在任一平行于坐标轴的直线上都是无处稠密的 294

13.单位正方形I=[0， 1] × [0， 1]的一个子集A在I内稠密，而且与I相交的每一条铅直或水平直线恰好交A于一点 294

14.平面内的一个稠密集，它不含有三个共线的点 295

15.与任一直线至多有两个公共点的不可测平面集 295

16.区间[0， 1]到正方形[0， 1] × [0，1]上的一个映射 297

17.充实空间的连续曲线 297

18.充实空间的连续曲线的简单例题 299

19. R3内的一条简单弧，它在平面上的投影成为一个三角形 303

20. [0，1]到[0，1]上的一个连续映射，每个值取的次数不可数 305

21. Cantor曲线、Jordan曲线和平面上连接区域的边界，这三个概念两两相异 305

22.不可求长的简单弧 307

23.不可求长并在每一点都有切线的简单弧 307

24.每两个不同点之间的弧段长度无限的简单弧 307

25. [0，1]上的一个递增的连续函数f（x），它所对应的曲线之长不能用（L）积分∫01？1+[f’（x）]2dx来表示 307

26.一个有界变差函数，使limδ→0s（△）=s不成立 309

27.一个不连续函数，而有limδ→0 s（△）=s 310

28.单位正方形内的一条简单弧，其平面测度可以任意接近1 310

29.有共同边界的四个两两不相交的平面区域 311

30.与自己的闭包的内部不同的平面区域 311

31.与自己的闭包的内部相等的非Jordan区域 311

32.边界的测度为正数的有界平面区域 312

33.图形为不可测平面集的单实变实值函数 312

34.没有面积的有界平面集 312

35.没有面积的紧平面集 312

36.没有面积的有界平面区域 313

37.没有面积的有界平面Jordan区域 313

38.一条简单闭曲线，它的平面测度比它围成的有界区域的平面测度还要大 313

39.一个曲面，它的内接多面体的面积不收敛于它的面积 313

第十四章 二元函数 315

0.引言 315

1.两个累次极限都存在而不相等的函数 317

2.两个累次极限存在且相等，但二重极限不存在的函数 317

3.二重极限存在而两个累次极限都不存在的函数 318

4.二重极限和一个累次极限存在，而另一个累次极限不存在的函数 319

5.仅有一个累次极限存在的函数 319

6.在原点没有极限，但沿着任一直线逼近原点时极限值都为零的函数 319

7.分别对各个变量连续的间断函数 320

8.函数f （x，y），它沿着从点（x0， y0）引出的任何直线在（x0， y0）都是连续的，但f（x，y）在（x0， y0）并不连续 320

9.[0，1] × [0， 1]上的一个无处连续函数f （x， y），使对每一y ∈ [0， 1]， f（x，y）是x的连续函数 321

10.具有各阶偏导数的不连续函数 321

11.二阶混合偏导数相等而不连续的函数 322

12.函数f，使fx （0， y）是y的连续函数，而fy （x， 0）不是x的连续函数 322

13.两个偏导数在某点连续，而本身在该点的任何邻域内不连续的函数 323

14.偏导数存在，但沿任何其他方向的导数都不存在的函数 324

15.函数f，使fy x（x，y）存在而fx（x，y）不存在 324

16.仅在一点连续并可微的函数 324

17.可微而不连续可微的函数 324

18.函数f，它在某点的邻域内连续且有有界的偏导数，但f在该点仍不能微分 325

19.偏导数均不连续的可微函数 326

20.二阶混合偏导数不相等的可微函数 327

21.在某点沿任何方向可微，而在该点并不连续的函数 327

22.有关的一切偏导数都存在，但复合函数求导公式不成立的函数 328

23.在平面区域D内fy（x，y）？0，但是f在D内并非与y无关的连续可微函数 328

24.函数F（x， y），尽管Fy （x0， y0）=0，但在（x0，y0）的某个邻域内，由方程F（x， y） = 0能唯一确定y为x的函数y= f （x），并且y0 = f（x0） 329

25.函数f，使maxy minx f（x，y）＜minx maxy f （x， y） 329

26.函数f，使fx（x0，y0）=0， fy（x0，y0）=0，但（x0，y0）并非f（x，y）的极值点 330

27.一个可微函数，它在定义域内只有一个驻点，而且这驻点是局部极大（小）点，但它不是最大（小）点 330

28.函数f，它在某点的偏导数不存在，但能在该点取得极值 331

29.有无穷多个局部极大值而无局部极小值的函数 332

30.函数f，它在原点无局部极值，但对任一过原点的直线，f沿此直线上，原点为其取得局部极小值的点 332

31.函数f （x，y），对每一x，它是y的Borel可测函数，对每一y，它是x的Borel可测函数，但f （x，y)并不（L）可测 333

第十五章 二重积分 335

0.引言 335

1.两个（R）累次积分存在而不相等的函数 336

2.两个（R）累次积分存在且相等，但（R）二重积分不存在的函数 337

3. （R）二重积分存在而两个（R）累次积分都不存在的函数 338

4. （R）二重积分不存在，而只有一个（R）累次积分存在的函数 340

5. （R）二重积分存在，但只有一个（R）累次积分存在的函数 341

6.一个发散的广义（R）二重积分，它的两个累次积分都存在 342

7.广义（R）二重积分∫1 0 ∫1 0f（x，y）dxdy存在，且对每一x∈[0，1]，积分∫1 0 f（x，y）dy存在，但累次积分∫0 dx ∫0 f （x， y） dy不存在的函数f 344

8.函数f （x）与g（y），它们分别在0≤x＜+∞与0≤y＜+∞上广义（R）可积，但f（x）g（y）在[0， +∞） × [0， +∞）上并不广义（R）可积 346

9. [0， 1] × [0， 1]上的一个（L）可积函数f（x，y），而并不对每一x ∈ [0， 1]，使把f （x， y）看作y的函数时，它在[0，1]上是（L）可积的 346

10. [0， 1] × [0，1]上的一个不可测函数，它的两个（L）累次积分均存在且相等 347

11. [0， 1] × [0， 1]上一不可测函数，它的一个（L）累次积分存在而另一个不存在 348

12. [0， 1] × [0， 1]上的一个不可测函数，它的两个（L）累次积分存在而不相等 349

13.一个可测函数，它的两个（L）累次积分一个存在而另一个不存在 349

14.一个可测函数，它的两个（L）累次积分存在而不相等 351

15.一个可测函数，它的两个（L）累次积分存在且相等，但它并不（L）可积 351

16. [0， 1] × [0， 1]上的一个函数f，使对任意可测集E ？ [0， 1]， F ？ [0， 1]，恒有∫E dx ∫F f（x，y）dy=∫F dy∫ E f（x，y）dx，但f在[0，1] × [0， 1]上仍不（L）可积 353

17.一个间断函数f，使∫1 0 f（x，y）dx是连续函数 357

18.函数f，使∫1 0 f（x，y）dx是间断函数 358

19.一个连续函数f，使∫+ ∞ 0 f（x，y）dx是间断函数 358

20.一个一致收敛的参变量积分，不能以与参数无关的收敛积分为优函数 358

参考文献 361

名词索引 371