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第一章 复数 1

1.1 复数 1

1．复数 1

2．复数的几何表示 1

1.2 复数的运算 5

1．四则运算 5

2．乘幂和方根 7

3．共轭复数的性质 11

1.3 复数在几何方面的应用 13

1.4 无穷远点与复球面 16

1.5 平面点集 20

1．基本概念 20

2．区域 21

3．曲线 22

本章小结 26

习题一 27

第二章 解析函数 29

2.1 复变函数 29

1．复变函数 29

2．单叶函数 31

3．反函数 32

4．复合函数 32

2.2 极限 32

1．函数极限 32

2．必要充分条件 33

2.3 连续性 35

1．连续 35

2．连续的必要充分条件 35

3．连续性 37

2.4 解析函数 39

1．导数 39

2．可微条件 41

3．解析函数 45

4．C．——R．条件的应用 48

2.5 单叶解析函数及其几何意义 49

1．单叶解析函数 49

2．导数的几何意义 49

3．保形变换概念 51

本章小结 53

习题二 53

第三章 初等复函数 55

3.1 幂函数W=zn，根式函数？及其黎曼面 55

1．幂函数w=zn 55

2．根式函数n？z及黎曼面 57

3.2 指数函数，对数函数及其黎曼面 64

1．指数函数 64

2．对数函数及其黎曼面 66

3.3 三角函数，反三角函数 73

1．三角函数 73

2．反三角函数 76

3.4 双曲函数，反双曲函数 77

1．双曲函数 77

2．反双曲函数 78

3.5 一般幂函数，一般指数函数 79

1．一般幂函数， 79

2．一般指数函数 81

本章小结 83

习题三 84

第四章 复变函数积分 86

4.1 复变函数的积分概念 86

1．复积分的概念 86

2．复积分的基本性质 87

3．沿光滑曲线积分的计算 89

4.2 柯西积分定理 92

1．柯西积分定理 92

2．原函数 93

3．柯西积分定理推广到多连通区域 96

4.3 柯西积分公式 98

1．柯西积分公式 98

2．解析函数无穷可微性 101

3．解积函数的一个等价概念 107

4.4 柯西积分定理，柯西积分公式在无界区域的推广 108

4.5 几个重要定理 110

1．平均值定理 110

2．柯西不等式 111

3．刘维尔定理 111

4．代数基本定理 112

4.6 调和函数 112

本章小结 116

习题四 118

第五章 解析函数的泰勒展式 120

5.1 复数域内的级数 120

1．复数项级数 120

2．复函数项级数 125

5.2 幂级数 131

1．幂级数的敛散性 132

2．收敛半径求法 133

3．幂级数的和函数的性质 136

5.3 泰勒展式 137

1．解析函数的泰勒展式 137

2．初等函数的泰勒展式 140

5.4 零点及解析函数唯一性定理 145

1．零点及其阶 145

2．零点的性质 147

3．解析函数唯一性定理 148

4．最大模原理 151

5.5 解析开拓 152

1．解析开拓概念 153

2．解析开拓的幂级数方法 153

本章小结 158

习题五 158

第六章 解析函数的罗朗展式 160

6.1 罗朗展式 160

1．双边级数 160

2．解析函数的罗朗展式 161

3．罗朗展式举例 165

6.2 解析函数在弧立奇点领域内的性质 170

1．弧立奇点 170

2．弧立奇点分类 170

3．解析函数在弧立奇点邻域的性质 172

6.3 解析函数在无穷远点邻域的性质 180

1．弧立奇点分类 180

2．解析函数在无穷远点邻域的性质 181

6.4 整函数和亚纯函数的概念 181

1．整函数 181

2．亚纯函数 182

本章小结 183

习题六 184

第七章 留数及其应用 185

7.1 留数的一般理论 185

1．留数 185

2．留数计算 186

3．无穷远点的留数 192

4．留数定理 194

7.2 幅角原理 196

1．幅角原理 196

2．儒歇定理 200

7.3 实函数积分值的计算 202

1．三角函数有理式的积分 203

2．有理函数的积分 206

3．混合型积分 209

4．其他积分 213

本章小结 215

习题七 224

第八章 保形变换 225

8.1 一般定理 225

8.2 线性变换 226

1．整线性函数 226

2．w=1/z 227

3．分式线性函数 229

4．分式线性变换的性质 233

5．两个特殊的分式线性变换 236

8.3 变换举例 240

本章小结 247

习题八 247

附 录 248

Ⅰ．柯西积分定理的古莎证明 248

Ⅱ．复变函数在流体力学中的解释 251

Ⅲ．参考书目 254

习题答案 255