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第1章 有限差分法 1

1.1 偏微分方程概述 1

1.1.1 偏微分方程的基本概念 1

1.1.2 偏微分方程分类 2

1.1.3 定解问题与边界条件 3

1.2 常微分方程的有限差分法 4

1.2.1 导数的差分近似 4

1.2.2 线性常微分方程边值问题的有限差分法求解 6

1.2.3 差分方程解的存在性和唯一性 7

1.2.4 差分方程的收敛性 9

1.3 偏微分方程有限差分法原理 11

1.3.1 微商与差商 11

1.3.2 有限差分方程的构建 13

1.3.3 从积分形式出发建立差分格式 15

1.3.4 显式差分格式与隐式差分格式 18

1.4 边界条件和初始条件的处理方法 18

1.4.1 矩形计算域边界条件处理 18

1.4.2 非规则计算域边界条件处理 20

1.4.3 采用单元积分法处理边界条件 22

1.4.4 初始条件处理 24

1.5 有限差分格式的相容性、稳定性与收敛性 24

1.5.1 偏微分方程定解问题的适定性 24

1.5.2 有限差分格式的相容性 25

1.5.3 有限差分格式的收敛性 26

1.5.4 有限差分格式的稳定性 27

1.5.5 Lax等价定理 37

1.6 椭圆型方程的有限差分格式 37

1.6.1 五点差分格式 38

1.6.2 非均匀网格上的差分格式 39

1.6.3 非矩形计算域上的差分格式 41

1.6.4 差分方程解法 43

1.7 双曲型方程的有限差分格式 44

1.7.1 一阶波动方程的差分格式 44

1.7.2 二阶波动方程的差分格式 46

1.8 抛物型方程的有限差分格式 49

1.8.1 一维抛物型方程的差分格式 49

1.8.2 二维抛物型方程的差分格式 52

1.8.3 一维对流扩散方程的差分格式 56

1.9 数值效应 57

1.9.1 差商逼近微商的近似性质 57

1.9.2 物理耗散和弥散 58

1.9.3 数值耗散和弥散 61

1.9.4 数值振荡效应 65

习题 66

第2章 变分法与加权余量法 68

2.1 变分法概述 68

2.1.1 变分法的基本概念 68

2.1.2 变分的特性 70

2.2 欧拉方程 75

2.2.1 一维固定端点问题的欧拉方程 75

2.2.2 一维可动端点问题的欧拉方程 80

2.2.3 二维和三维问题的欧拉方程 81

2.2.4 待定边界的变分问题 86

2.3 里兹法 87

2.3.1 里兹法的基本思想 88

2.3.2 微分方程对应的变分问题 90

2.4 加权余量法 94

2.4.1 加权余量法的基本思想 95

2.4.2 配置法 96

2.4.3 子区域法 97

2.4.4 最小二乘法 98

2.4.5 矩法 99

2.4.6 伽辽金法 100

2.4.7 伽辽金法与里兹法的关系 101

2.4.8 二维偏微分方程化为常微分方程求解 102

2.5 强解与弱解 104

2.5.1 弱解积分表达式 104

2.5.2 强解积分表达式 105

2.6 伽辽金法求解初值问题 109

2.6.1 波动方程的伽辽金积分表达式 110

2.6.2 扩散方程的伽辽金积分表达式 110

2.6.3 非定常问题求解 111

2.7 伽辽金法求解非线性问题 114

2.8 基函数的选取 115

习题 117

第3章 有限元法 119

3.1 有限元法的基本原理 119

3.1.1 有限元法基本原理 119

3.1.2 有限元法解题步骤 120

3.2 有限元列式方法 122

3.2.1 基于变分原理的有限元列式方法 122

3.2.2 基于加权余量法的有限元列式方法 124

3.3 单元的形状和自然坐标 126

3.3.1 单元的形状 126

3.3.2 自然坐标 127

3.4 插值函数 138

3.4.1 插值函数概述 138

3.4.2 单元的插值函数 142

3.4.3 基本单元及其线性插值函数 145

3.5 曲边单元与等参单元 148

3.6 拟协调单元和埃尔米特多项式插值 157

3.7 高斯积分 163

3.7.1 高斯积分概述 163

3.7.2 一维线段基本单元的高斯积分 164

3.7.3 二维正方形基本单元的高斯积分 165

3.7.4 三维正方体基本单元的高斯积分 165

3.7.5 三角形基本单元的高斯积分 166

3.7.6 四面体基本单元的高斯积分 167

3.8 有限元法求解步骤 167

3.8.1 写出积分表达式 167

3.8.2 区域剖分 168

3.8.3 确定单元基函数 170

3.8.4 单元分析 172

3.8.5 总体合成 173

3.8.6 边界条件处理 175

3.8.7 解有限元方程 177

3.9 有限元法求解偏微分方程边值问题 178

3.9.1 写出积分表达式 178

3.9.2 区域剖分 179

3.9.3 确定单元基函数 180

3.9.4 单元分析 181

3.9.5 总体合成 183

3.9.6 边界条件处理 184

3.9.7 解有限元方程 185

3.10 非线性问题的有限元法 187

3.11 非定常问题的有限元法 189

3.11.1 抛物型方程的步进法 189

3.11.2 双曲型方程的步进法 191

3.11.3 非线性方程的步进法 191

3.12 泰勒-伽辽金有限元法 192

3.12.1 一维对流方程 192

3.12.2 多维对流扩散方程的泰勒-伽辽金有限元格式 194

习题 196

第4章 有限体积法 198

4.1 流体流动与传热基本方程 198

4.1.1 连续性方程 198

4.1.2 动量方程 200

4.1.3 能量方程 200

4.1.4 组分质量守恒方程 201

4.1.5 状态方程 202

4.1.6 牛顿流体运动控制方程 202

4.1.7 湍流概述 203

4.1.8 流动控制方程的通用形式 205

4.2 有限体积法的基本思想和特点 205

4.3 一维稳态扩散问题的有限体积法 207

4.4 多维稳态扩散问题的有限体积法 214

4.4.1 二维稳态扩散问题的有限体积法 214

4.4.2 三维稳态扩散问题的有限体积法 219

4.5 一维对流扩散问题的有限体积法 221

4.6 多维对流扩散问题的有限体积法 227

4.6.1 二维对流扩散问题的有限体积法 227

4.6.2 三维对流扩散问题的有限体积法 229

4.7 有限体积法离散格式的特征 230

4.8 有限体积法常用的离散格式 234

4.8.1 对流扩散问题的一阶离散格式 234

4.8.2 混合离散格式 238

4.8.3 指数离散格式与乘方离散格式 240

4.8.4 QUICK格式 242

4.9 压力与速度耦合问题的有限体积法 249

4.9.1 压力与速度耦合问题 249

4.9.2 交错网格技术 250

4.9.3 SIMPLE算法 255

4.9.4 SIMPLER算法 259

4.9.5 SIMPLEC算法 260

4.10 有限体积法离散方程的解法 262

4.10.1 引言 262

4.10.2 TDMA算法 263

4.10.3 TDMA算法在二维问题中的应用 267

4.10.4 TDMA算法在三维问题中的应用 268

4.11 非稳态流动问题的有限体积法 269

4.11.1 非稳态流动问题的守恒方程 269

4.11.2 非稳态扩散问题的守恒方程 270

4.12 非稳态对流扩散问题的离散方程及其解法 277

4.12.1 非稳态对流扩散问题一阶差分格式 277

4.12.2 SIMPLE算法在瞬态问题中的应用 279

4.13 边界条件设定方法 280

4.13.1 概述 280

4.13.2 入口边界条件处理 282

4.13.3 出口边界条件处理 283

4.13.4 固定壁面边界条件处理 284

4.13.5 压力边界条件处理 288

4.13.6 对称边界条件处理 289

4.13.7 周期或循环边界条件处理 289

4.13.8 处理边界条件潜在问题 290

习题 291

参考文献 293