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第一章 绪论 1

1.1基本概念 1

1.1.1定义与例子 1

1.1.2叠加原理 4

1.2定解问题 5

1.3二阶线性偏微分方程的分类和化简 7

1.4分离变量法的理论基础 14

1.4.1二阶线性常微分方程的通解 14

1.4.2 Sturm-Liouville问题 17

1.5习题一 22

第二章 波动方程 25

2.1弦振动方程的导出及定解条件 25

2.1.1弦振动方程的导出 25

2.1.2 弦振动方程的定解条件 28

2.1.3二维和三维波动方程 29

2.2一维初值问题 30

2.2.1齐次化原理 30

2.2.2问题的化简 32

2.2.3特征线法 33

2.2.4解的表达式 33

2.2.5 D’Alembert公式的物理意义 37

2.2.6依赖区间、决定区域和影响区域 38

2.2.7半无界问题 40

2.3高维初值问题 42

2.3.1三维波动方程 43

2.3.2二维波动方程 47

2.3.3特征锥 50

2.3.4 Huygens原理、波的弥散 52

2.4混合问题（初边值问题） 54

2.4.1分离变量法 54

2.4.2非齐次方程的情形 59

2.4.3解的物理意义 65

2.5能量不等式与波动方程解的适定性 66

2.5.1 Cauchy问题的能量不等式及解的适定性 66

2.5.2混合问题的能量不等式与解的适定性 71

2.6习题二 74

第三章 热传导方程 78

3.1热传导方程的导出及定解条件 78

3.1.1热传导方程的导出 78

3.1.2热传导方程的定解条件 80

3.1.3低维热传导方程 81

3.2初值问题 81

3.2.1 Fourier变换及其基本性质 81

3.2.2 Laplace变换及其基本性质 89

3.2.3初值问题的求解 93

3.3半无界问题 100

3.4混合问题 103

3.5极值原理与热传导方程的适定性 106

3.5.1极值原理 106

3.5.2混合问题解的唯一性与稳定性 108

3.5.3初值问题解的唯一性与稳定性 109

3.6习题三 111

第四章 位势方程 116

4.1基本解与格林公式 117

4.1.1基本解 117

4.1.2格林公式 118

4.2调和函数的基本积分公式及性质 119

4.2.1调和函数的基本积分公式 119

4.2.2调和函数的性质 120

4.3格林函数 124

4.3.1格林函数的概念 124

4.3.2格林函数的性质 126

4.4几种特殊区域上的格林函数和Dirichlet边值问题的解 128

4.4.1球上的格林函数 129

4.4.2上半空间的格林函数 131

4.4.3四分之一平面区域上的格林函数 132

4.4.4圆域上的格林函数 134

4.5调和函数的进一步性质 135

4.6习题四 140

第五章 三类典型方程的基本理论 143

5.1波动方程 143

5.1.1初值问题解的唯一性和稳定性 143

5.1.2初边值问题解的唯一性和稳定性 149

5.2热传导方程 154

5.2.1最大模估计 154

5.2.2能量积分法 155

5.3位势方程 156

5.3.1强极值原理 156

5.3.2最大模估计 159

5.4三种方程的比较 161

5.5习题五 162

附录一 波动方程形式解为真解的充分条件 166

附录二 积分变换表 168

参考文献 171