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第1章 预备知识 1

1.1 集合与映射 2

1.1.1 集合 2

1.1.2 映射 6

1.2 运算与同态映射 8

1.2.1 运算 8

1.2.2 同态与同构映射 11

1.3 关系与等价关系 13

1.3.1 关系 13

1.3.2 等价关系 15

1.4 数论基础 17

1.4.1 辗转相除法 17

1.4.2 模运算 20

1.5 多项式基础 26

1.5.1 多项式的概念 26

1.5.2 多项式的带余除法 27

1.5.3 多项式的辗转相除法 29

1.5.4 多项式的分解与表示 31

1.6 密码学基础与同态密码算法 33

1.6.1 密码学基础 33

1.6.2 公钥密码的概念 36

1.6.3 同态密码算法 37

小结 43

习题 43

第2章 群 45

2.1 群的定义与性质 46

2.1.1 半群与含幺半群 46

2.1.2 群的定义 47

2.1.3 群的性质 50

2.2 子群与群的同态 53

2.2.1 子群 54

2.2.2 群的同态 56

2.3 循环群、变换群与置换群 57

2.3.1 循环群 58

2.3.2 变换群 62

2.3.3 置换群 63

2.4 正规子群与商群 67

2.4.1 陪集、拉格朗日定理 67

2.4.2 正规子群 71

2.4.3 商群 74

2.5 群同态基本定理 76

2.6 群与纠错编码 81

2.6.1 线性分组码与汉明重量 81

2.6.2 线性码的生成矩阵与校验矩阵 85

2.6.3 陪集与译码方法 89

小结 92

习题 92

第3章 环 94

3.1 环的定义及其性质 95

3.1.1 环的定义 95

3.1.2 环的性质 97

3.1.3 整环 99

3.1.4 除环 101

3.2 子环、环同态基本定理 104

3.2.1 子环 104

3.2.2 环的同态 106

3.2.3 理想与商环 107

3.2.4 环同态基本定理 110

3.3 分式域 116

3.4 环的直积、矩阵环、多项式环、序列环 121

3.4.1 环的直积与矩阵环 121

3.4.2 多项式环 122

3.4.3 序列环 126

3.5 素理想与极大理想 128

3.5.1 素理想 128

3.5.2 极大理想 130

3.6 唯一分解环 131

3.6.1 既约元与素元 131

3.6.2 唯一分解环 133

3.7 主理想环与欧氏环 137

3.7.1 主理想环 137

3.7.2 欧氏环 138

3.8 环理论在密码学中的应用 145

3.8.1 线性同余式与仿射密码 146

3.8.2 环中元素的运算与公钥密码算法 146

3.8.3 密钥的分散管理 150

小结 155

习题 155

第4章 域 158

4.1 域的扩张 158

4.1.1 线性空间与复数域的构造 158

4.1.2 域的扩张 160

4.1.3 一些几何作图问题 166

4.2 极小多项式、多项式的分裂域 169

4.2.1 极小多项式 169

4.2.2 多项式的分裂域 173

4.3 有限域 176

4.3.1 域的特征 177

4.3.2 有限域的结构 178

4.4 有限域上的离散对数与密钥交换协议 183

4.4.1 两方Diffie-Hellman密钥交换协议 184

4.4.2 三方Diffie-Hellman密钥交换协议 185

小结 185

习题 186

参考文献 188