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引言 1

1傅里叶级数：完备化 1

2连续函数的极限 2

3曲线的长度 2

4微分与积分 3

5测度问题 3

第1章 测度论 5

1预备知识 5

2外测度 11

3可测集与勒贝格测度 15

4可测函数 23

4.1 定义与基本性质 24

4.2 用简单函数或阶梯函数逼近 26

4.3 李特尔伍德三大原理 27

5Brunn-Minkowski不等式 28

6习题 30

7问题 37

第2章 积分理论 40

1勒贝格积分：基本性质与收敛定理 40

2可积函数空间L1 54

3Fubini定理 58

3.1 定理的叙述与证明 59

3.2 Fubini定理的应用 62

4傅里叶反演公式 66

5习题 69

6问题 73

第3章 微分与积分 75

1积分的微分 75

1.1 哈代-李特尔伍德极大函数 77

1.2 勒贝格微分定理 79

2好的核与恒同逼近 82

3函数的可微性 86

3.1 有界变差函数 87

3.2 绝对连续函数 95

3.3 跳跃函数的可微性 98

4可求长曲线与等周不等式 100

4.1 曲线的闵可夫斯基容量 102

4.2 等周不等式 106

5习题 108

6问题 114

第4章 希尔伯特空间简介 117

1希尔伯特空间L2 117

2希尔伯特空间 121

2.1 正交性 123

2.2 酉映射 126

2.3 准希尔伯特空间 127

3傅里叶级数与法图定理 127

3.1 法图定理 129

4闭子空间与正交投影 131

5线性变换 134

5.1 线性泛函与里斯表示定理 135

5.2 伴随 136

5.3 例子 138

6紧算子 140

7习题 144

8问题 150

第5章 希尔伯特空间：几个例子 155

1L2上的傅里叶变换 155

2关于上半平面的哈代空间 159

3常系数偏微分方程 165

3.1 弱解 166

3.2 主要定理和关键估计 168

4狄利克雷原理 171

4.1 调和函数 174

4.2 边值问题和狄利克雷原理 180

5习题 187

6问题 192

第6章 抽象测度和积分理论 195

1抽象测度空间 195

1.1 外测度与卡拉泰奥多里定理 196

1.2 度量外测度 198

1.3 延拓定理 201

2测度空间上的积分 203

3例子 205

3.1 乘积测度和一般的Fubini定理 205

3.2 极坐标的积分公式 207

3.3 R上的博雷尔测度和勒贝格-靳蒂尔切斯积分 208

4测度的绝对连续性 212

4.1 带号测度 212

4.2 绝对连续性 213

5遍历定理 216

5.1 平均遍历定理 218

5.2 极大遍历定理 219

5.3 逐点遍历定理 222

5.4 遍历保测变换 224

6附录：谱定理 227

6.1 定理的叙述 227

6.2 正算子 228

6.3 定理的证明 230

6.4 谱 232

7习题 233

8问题 239

第7章 豪斯多夫测度和分形 243

1豪斯多夫测度 244

2豪斯多夫维数 248

2.1 例子 248

2.2 自相似 255

3空间填充曲线 261

3.1 四次区间和二进正方形 262

3.2 二进对应 264

3.3 佩亚诺映射的构造 266

4Besicovitch集和正则性 269

4.1 拉东变换 271

4.2 当d≥3时集合的正则性 276

4.3 Besicovitch集有维数2 277

4.4 Besicovitch集的构造 279

5习题 284

6问题 288

注记和参考 291

符号索引 293

参考文献 296