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第1章 集合论基础 1

1.1 集合及其运算 1

1.1.1 集合的概念 1

1.1.2 集合的表示 2

1.1.3 集合的运算 3

习题1.1 10

1.2 集合的基数 11

1.2.1 对等性 12

1.2.2 基数的概念 13

1.2.3 基数的比较 13

习题1.2 15

1.3 可数集合 16

习题1.3 20

1.4 基数为c的集合 20

习题1.4 25

总练习题1 26

第2章 Rn中的点集理论 27

2.1 基本概念 27

2.1.1 n维欧氏空间Rn 27

2.1.2 点列的收敛性 28

2.1.3 点集的几种特殊点 29

2.1.4 基本结论 30

习题2.1 31

2.2 开集、闭集与完备集 32

2.2.1 开集与闭集 32

2.2.2 Gδ型集、Fσ型集与博雷尔集 34

2.2.3 自密集与完备集 35

习题2.2 37

2.3 闭集套原理与覆盖定理 38

习题2.3 40

2.4 开集的构造 40

习题2.4 42

2.5 点集上的连续函数 42

习题2.5 46

2.6 点集间的距离 46

习题2.6 48

总练习题2 49

第3章 测度理论 50

3.1 外测度的定义与性质 50

3.1.1 外测度的定义 50

3.1.2 外测度的性质 53

习题3.1 56

3.2 可测集的定义及性质 56

3.2.1 可测集的定义 56

3.2.2 可测集的运算性质 57

习题3.2 62

3.3 可测集类 63

习题3.3 67

3.4 可测集的构造 67

习题3.4 73

总练习题3 74

第4章 可测函数 76

4.1 可测函数的概念与运算 76

4.1.1 简单函数 76

4.1.2 可测函数的概念与运算性质 78

习题4.1 79

4.2 可测函数的刻画与性质 80

4.2.1 预备定理 80

4.2.2 非负可测函数的刻画 80

4.2.3 一般可测函数的刻画 83

4.2.4 可测函数的性质 85

习题4.2 87

4.3 叶果洛夫定理 88

4.3.1 几乎处处的概念 88

4.3.2 叶果洛夫定理 89

习题4.3 93

4.4 依测度收敛性 93

习题4.4 98

4.5 鲁金定理 99

习题4.5 104

总练习题4 105

第5章 勒贝格积分 106

5.1 非负可测函数的积分 106

5.1.1 定义与例子 106

5.1.2 基本性质 109

习题5.1 116

5.2 一般可测函数的积分 116

习题5.2 122

5.3 例子 123

习题5.3 129

5.4 勒贝格控制收敛定理 130

习题5.4 136

5.5 R-积分与L-积分的关系 137

习题5.5 146

5.6 富比尼定理 147

习题5.6 150

5.7 有界变差函数 151

习题5.7 156

5.8 绝对连续函数 157

习题5.8 163

总练习题5 164

第6章 空间理论 166

6.1 距离空间 166

6.1.1 定义与例子 166

6.1.2 完备距离空间 168

6.1.3 开集与闭集 171

6.1.4 可分距离空间 173

6.1.5 连续映射 173

6.1.6 列紧空间 176

6.1.7 压缩映射原理 179

习题6.1 183

6.2 赋范线性空间 185

6.2.1 定义与例子 185

6.2.2 有限维赋范线性空间 190

习题6.2 193

6.3 内积空间 196

6.3.1 内积空间的概念与基本性质 196

6.3.2 正交分解 200

6.3.3 正规正交系 202

习题6.3 208

6.4 拓扑空间简介 209

6.4.1 拓扑空间 209

6.4.2 连续映射与同胚 212

习题6.4 212

总练习题6 213

第7章 巴拿赫空间上的有界线性算子理论 216

7.1 有界线性算子 217

7.1.1 定义、例子与基本性质 217

7.1.2 有界线性算子的范数 221

7.1.3 算子空间与巴拿赫代数 225

习题7.1 228

7.2 哈恩-巴拿赫延拓定理 230

7.2.1 线性泛函的延拓 230

7.2.2 有界线性泛函的存在性 235

习题7.2 236

7.3 有界线性泛函的表示 237

7.3.1 n维空间Kn上的有界线性泛函 237

7.3.2 lp（K）上的有界线性泛函（1＜p＜∞） 238

7.3.3 Lp［a，b］上的有界线性泛函（1＜p＜∞） 240

7.3.4 C［a，b］上的有界线性泛函 244

7.3.5 希尔伯特空间上有界线性泛函的表示 244

习题7.3 245

7.4 共轭空间与共轭算子 246

7.4.1 共轭空间 246

7.4.2 共轭算子 250

习题7.4 253

7.5 逆算子定理与开映射定理 255

7.5.1 逆算子的概念与基本性质 255

7.5.2 逆算子的有界性 256

习题7.5 261

7.6 闭图像定理与一致有界原理 262

7.6.1 闭算子与闭图像定理 262

7.6.2 一致有界原理及其应用 264

习题7.6 266

7.7 强弱收敛与弱＊收敛 267

7.7.1 点列的弱收敛 267

7.7.2 算子列的强、弱收敛 269

7.7.3 泛函列的强、弱收敛与弱＊收敛 272

习题7.7 272

7.8 紧算子 273

7.8.1 定义与例子 273

7.8.2 紧算子的性质 275

习题7.8 277

总练习题7 279

第8章 非线性算子 281

8.1 连续性与有界性 281

8.1.1 定义与例子 281

8.1.2 连续算子的性质 282

8.1.3 一类复合算子的连续性与有界性 283

习题8.1 286

8.2 紧性与全连续性 287

8.2.1 定义与基本性质 287

8.2.2 完全连续算子的结构 289

习题8.2 292

8.3 抽象函数的导数 293

8.3.1 实变抽象函数的导数 293

8.3.2 复变抽象函数的导数 296

习题8.3 298

8.4 抽象函数的积分 299

8.4.1 定义与例子 299

8.4.2 可积条件 300

8.4.3 运算性质 303

习题8.4 305

8.5 费雷歇导算子 305

8.5.1 定义与性质 305

8.5.2 中值定理与导算子的完全连续性 313

8.5.3 高阶导算子与泰勒公式 315

习题8.5 318

8.6 加特导算子 320

8.6.1 定义与性质 320

8.6.2 两种微分之间的关系 321

习题8.6 326

8.7 偏导算子与隐算子定理 326

8.7.1 偏导算子 327

8.7.2 隐算子存在定理 329

8.7.3 反算子存在定理 334

习题8.7 335

总练习题8 336

参考文献 338

附录 339

1．偏序集与佐恩引理 339

2．泛函延拓定理的证明 342

3．算子谱论简介 343

4．希尔伯特空间上的有界线性算子简介 346

5．中外文人名对照表 348