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第1章 应用与方法概述 1

1.1 什么是偏微分方程 1

1.2 求解并解释偏微分方程 5

第2章 傅里叶级数 14

2.1 周期函数 14

2.2 傅里叶级数 22

2.3 以任意数为周期的函数的傅里叶级数 33

2.4 半幅展开：余弦级数和正弦级数 44

2.5 均方逼近和帕塞瓦尔恒等式 47

2.6 傅里叶级数的复数形式 52

2.7 受迫振动 59

2.8 傅里叶级数表示定理的证明 67

2.9 一致收敛性和傅里叶级数 74

2.10 狄利克雷判别法和傅里叶级数收敛性 82

第3章 直角坐标中的偏微分方程 90

3.1 物理学和工程技术中的偏微分方程 90

3.2 建模：弦振动和波动方程 94

3.3 一维波动方程的求解：分离变量法 99

3.4 达朗贝尔方法 108

3.5 一维热传导方程 116

3.6 棒中的热传导：各种边界条件 125

3.7 二维波动方程和热传导方程 132

3.8 直角坐标中的拉普拉斯方程 140

3.9 泊松方程：特征函数展开法 145

3.10 诺伊曼条件和罗宾条件 153

3.11 最大值原理 159

第4章 极坐标与柱面坐标中的偏微分方程 164

4.1 各个坐标系中的拉普拉斯算子 164

4.2 圆形膜的振动：对称情况 168

4.3 圆形膜的振动：一般情况 175

4.4 圆域中的拉普拉斯方程 182

4.5 圆柱体中的拉普拉斯方程 192

4.6 亥姆霍兹方程和泊松方程 195

4.7 贝塞尔方程和贝塞尔函数 199

4.8 贝塞尔级数展开 209

4.9 贝塞尔函数的积分公式和渐近式 219

第5章 球面坐标中的偏微分方程 227

5.1 问题和方法概述 227

5.2 对称狄利克雷问题 230

5.3 球面调和函数和一般狄利克雷问题 236

5.4 亥姆霍兹方程及其对泊松方程、热传导方程和波动方程的应用 244

5.5 勒让德微分方程 249

5.6 勒让德多项式和勒让德级数展开 256

5.7 相伴勒让德函数和相伴勒让德级数展开 265

第6章 施图姆-刘维尔理论及其在工程技术中的应用 270

6.1 正交函数 270

6.2 施图姆-刘维尔理论 276

6.3 悬链 287

6.4 四阶施图姆-刘维尔理论 292

6.5 梁的弹性振动和屈曲 298

6.6 双调和算子 307

6.7 圆盘的振动 312

第7章 傅里叶变换及其应用 322

7.1 傅里叶积分表示 322

7.2 傅里叶变换 329

7.3 傅里叶变换法 341

7.4 热传导方程和高斯核 349

7.5 狄利克雷问题和泊松积分公式 357

7.6 傅里叶余弦变换和正弦变换 361

7.7 半无限区间上的问题 366

7.8 广义函数 370

7.9 非齐次热传导方程 386

7.10 杜阿梅尔原理 395

第8章 拉普拉斯变换和汉克尔变换及其应用 402

8.1 拉普拉斯变换 402

8.2 拉普拉斯变换的进一步性质 412

8.3 拉普拉斯变换法 421

8.4 汉克尔变换及其应用 427

第9章 有限差分数值方法 433

9.1 热传导方程的有限差分法 433

9.2 波动方程的有限差分法 441

9.3 拉普拉斯方程的有限差分法 447

9.4 拉普拉斯方程的迭代法 453

第10章 抽样和离散傅里叶分析及其在偏微分方程中的应用 457

10.1 抽样定理 457

10.2 偏微分方程与抽样定理 465

10.3 离散傅里叶变换与快速傅里叶变换 468

10.4 傅里叶变换与离散傅里叶变换 475

第11章 量子力学引论 480

11.1 薛定谔方程 480

11.2 氢原子 486

11.3 海森伯格不定性原理 492

11.4 埃尔米特多项式和拉盖尔多项式 498

12.1 格林定理和恒等式 509

第12章 格林函数和共形映射 509

12.2 调和函数和格林恒等式 520

12.3 格林函数 526

12.4 圆盘和上半平面的格林函数 535

12.5 解析函数 540

12.6 利用共形映射求解狄利克雷问题 557

12.7 格林函数与共形映射 566

12.8 诺伊曼函数和诺伊曼问题的解 575

附录A 常微分方程：概念和方法的回顾 581

附录B 变换表 635

参考文献 642

部分习题答案 644

索引 680