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第一章 引言及概述 1

1．目标 1

2．历史与现状 6

3．方法 10

4．补充 13

5．内容安排 14

第二章 线性波动方程 16

1．解的表达式 16

1.1．n≤3时解的表达式 18

1.2．球面平均方法 19

1.3．n（＞1）为奇数时解的表达式 23

1.4．n（≥2）为偶数时解的表达式 25

2．基本解的表达式 26

3．Fourier变换 30

4．附录——单位球面的面积 30

第三章 具衰减因子的Sobolev型不等式 33

1．预备事项 33

1.1．换位关系式 34

1.2．空间Lp·q（Rn） 36

1.3．广义Sobolev范数 37

1.4．与波动算子的交换性 38

1.5．用极坐标下的导数表示通常坐标下的导数 39

2．经典Sobolev嵌入定理的一些变化形式 42

2.1．单位球面上的Sobolev嵌入定理 42

2.2．球体上的Sobolev嵌入定理 43

2.3．环形域上的Sobolev嵌入定理 44

2.4．维数分解的Sobolev嵌入定理 46

3．基于二进形式单位分解的Sobolev嵌入定理 48

3.1．二进形式的单位分解 48

3.2．基于二进形式单位分解的Sobolev嵌入定理 50

4．具衰减因子的Sobolev型不等式 55

4.1．特征锥内部具衰减因子的Sobolev型不等式 55

4.2．全空间上具衰减因子的Sobolev型不等式 58

第四章 线性波动方程的解的估计式 63

1．一维线性波动方程的解的估计式 63

2．广义惠更斯原理 65

3．二维线性波动方程的解的估计式 68

4．n（≥4）维线性波动方程的解的一个L2估计式 70

5．线性波动方程的解的Lp·q估计式 78

6．线性波动方程的解的L1-L∞估计式 85

6.1．齐次线性波动方程的解的L1-L∞估计式 85

6.2．非齐次线性波动方程的解的L1-L∞估计式 91

6.3．线性波动方程的解的L1-L∞估计式 100

第五章 关于乘积函数及复合函数的一些估计式 112

1．关于乘积函数的一些估计式 112

2．关于复合函数的一些估计式 120

3．附录——关于乘积函数估计的一个补充 129

第六章 二阶线性双曲型方程的Cauchy问题 132

1．引言 132

2．解的存在唯一性 133

3．解的正规性 148

第七章 化非线性波动方程为二阶拟线性双曲型方程组 155

1．引言 155

2．一般非线性右端项F的情况 157

3．特殊非线性右端项F的情况 159

第八章 一维非线性波动方程的Cauchy问题 161

1．引言 161

2．Cauchy问题（8.1.14）-（8.1.15）的经典解的生命跨度的下界估计 163

2.1．度量空间XS,E,T．主要结果 163

2.2．定理2.1 的证明框架——整体迭代法 166

2.3．引理2.5 的证明 170

2.4．引理2.6 的证明 173

3．Cauchy问题（8.1.14）-（8.1.15）的经典解的生命跨度的下界估计（续） 175

3.1．度量空间XS,E,T．主要结果 175

3.2．引理3.1 的证明 176

3.3．引理3.2 的证明 180

第九章 n（≥3）维非线性波动方程的Cauchy问题 183

1．引言 183

2．Cauchy问题（9.1.11）-（9.1.12）的经典解的生命跨度的下界估计 186

2.1．度量空间XS,E,T．主要结果 186

2.2．定理2.1 的证明框架——整体迭代法 188

2.3．引理2.5 的证明 191

2.4．引理2.6 的证明 197

2.5．非线性右端项不显含u的情况：F＝F（Du，DxDu） 200

3．Cauchy问题（9.1.11）-（9.1.12）的经典解的生命跨度的下界估计（续） 202

3.1．度量空间XS,E,T．主要结果 202

3.2．定理3.1的证明框架——整体迭代法 204

3.3．引理3.5的证明 206

3.4．引理3.6的证明 215

第十章 二维非线性波动方程的Cauchy问题 217

1．引言 217

2．Cauchy问题（10.1.14）-（10.1.15）的经典解的生命跨度的下界估计（α＝1的情形） 220

2.1．度量空间XS,E,T．主要结果 220

2.2．定理2.1 的证明框架——整体迭代法 222

2.3．引理2.5 及引理2.6 的证明 224

3．Cauchy问题（10.1.14）-（10.1.15）的经典解的生命跨度的下界估计（α≥2的情形） 231

3.1．度量空间XS,E,T．主要结果 232

3.2．定理3.1 的证明框架——整体迭代法 234

3.3．引理3.3 及引理3.4 的证明 234

4．Cauchy问题（10.1.14）-（10.1.15）的经典解的生命跨度的下界估计（α＝1及2的情形）（续） 242

4.1．度量空间XS,E,T．主要结果 242

4.2．定理4.1 的证明框架——整体迭代法 243

4.3．引理4.3 及引理4.4 的证明 244

第十一章 四维非线性波动方程的Cauchy问题 257

1．引言 257

2．Cauchy问题（11.1.11）-（11.1.12）的经典解的生命跨度的下界估计 259

2.1．度量空间XS,E,T．主要结果 259

2.2．定理2.1 的证明框架——整体迭代法 260

2.3．引理2.5 及引理2.6 的证明 262

第十二章 零条件与非线性波动方程Cauchy问题的整体经典解 265

1．引言 265

2．三维非线性波动方程的零条件及经典解的整体存在性 266

2.1．三维非线性波动方程的零条件 266

2.2．零形式的一些性质 274

2.3．度量空间XS,E．主要结果 278

2.4．引理2.4及引理2.5的证明 281

3．二维非线性波动方程的零条件及经典解的整体存在性 288

3.1．引言 288

3.2．度量空间XS,E．主要结果 291

3.3．引理3.1及引理3.2的证明 293

第十三章 Cauchy问题经典解的生命跨度下界估计的Sharpness——非线性右端项F＝F（Du,DxDu）不显含u的情况 304

1．引言 304

2．一类半线性波动方程Cauchy问题的解的生命跨度的上界估计 306

3．主要结果的证明 312

第十四章 Cauchy问题经典解的生命跨度下界估计的Sharpness——非线性右端项F＝F（u,Du,DxDu）显含u的情况 318

1．引言 318

2．关于微分不等式的一些引理 322

3．一类半线性波动方程Cauchy问题的解的生命跨度的上界估计——次临界情况 325

4．一类半线性波动方程Cauchy问题的解的生命跨度的上界估计——临界情况 334

5．主要结果的证明 347

6．附录——Fuchs型微分方程和超越几何方程 351

6.1．二阶线性常微分方程的正则奇点 351

6.2．Fuchs型微分方程 354

6.3．超越几何方程 355

第十五章 应用与拓展 359

1．应用 359

1.1．可压缩流体欧拉方程组的位势解 359

1.2．Minkowski空间中的时向极值超曲面 363

2．一些进一步的结果 364

2.1．n＝2时一些进一步的结果 364

2.2．n＝3时一些进一步的结果 365

3．一些重要的拓展 366

3.1．三维非线性弹性力学方程组 366

3.2．真空中的爱因斯坦方程 369

参考文献 378

索引 385