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第一章 常微分方程基础知识 1

1．初值问题 1

1.1）解的适定性 1

1.2）Tonelli序列 3

1.3）解的最大存在区间 8

2．Peano现象 12

2.1）最大解与最小解 13

2.2）Peano现象的稀有性 13

2.3）关于奇解和Lavrentief现象的附注 15

3.1）Poincaré的观点 17

3．Liapunov稳定性 17

3.2）Liapunov稳定性的定义 18

3.3）稳定性之间的关系 19

3.4）Lagrange原理 20

4．Peano存在定理的补充 23

4.1）对隐函数存在定理的应用 23

4.2）对原函数存在定理的应用 25

5．初值问题的差分计算 27

5.1）Gear差分格式 27

5.2）几个引理 28

5.3）收敛性定理的证明 33

5.4）收敛性的必要条件 34

参考文献Ⅰ 36

1．向量场的Poincaré指数 38

1.1）代数基本定理的一个简单证明 38

第二章　Poincaré指数及其应用 38

1.2）平面向量场的Poincaré指数 39

1.3）Bendixson的指数公式 42

2．闭曲面上Poincaré-Hopf的奇点指数公式 45

2.1）问题的陈述 45

2.2）闭曲面的基础知识 46

2.3）球面向量场的奇点 47

2.4）Poincaré-Hopf奇点指数公式的证明 48

2.5）Euler曲面示性数公式的证明 50

3.1）空间向量场的Poincaré指数 52

3．Poincaé指数的应用 52

3.2）经典不动点定理 54

3.3）Brouwer不动点定理的推广 57

4．Poincaé-Birkhoff扭转定理 58

4.1）Poincaré的最后几何定理 58

4.2）Birkhoff的工作 58

4.3）关于Poincaré-Birkhoff扭转定理的改进 60

4.4）一个附注 63

5．Poincaré映射的不动点 66

5.1）Poincaré映射 66

5.2）耗散系统 67

5.3）保守系统 68

参考文献Ⅱ 70

第三章 拓扑动力系统与混沌 72

1．常微分方程定义的动力系统 72

1.1）自治微分方程的轨线 72

1.2）连续动力系统 75

1.3）离散动力系统 78

2．P-式回复运动 80

2.1）极限点集 80

2.2）P-式回复运动的定义 81

2.3）非平凡的P-式回复运动 83

2.4）准极小集 85

3．B-式回复运动 87

3.1）回复时间的间隔 87

3.2）极小集 89

3.3）极小集的存在性 92

4．概周期运动 93

4.1）ε位移集 93

4.2）概周期运动的例子 94

4.3）P-式回复运动的层次 95

4.4）概周期运动的Liapunov稳定性 95

5．特殊情形的极小集 101

5.1）极限环存在定理 101

5.2）Seifert猜测 102

5.3）空间闭轨的存在性 103

5.4）非平凡的极小集 105

6．Massera定理的推广 107

6.1）Poincaré-Bendixson定理的推广 107

6.2）定理A的证明 109

6.3）定理B的证明 112

7．动力系统的复杂性 114

7.1）Poincaré的观点 114

7.2）混沌现象的起因 116

7.3）混沌的定义 117

7.4）混沌的必要条件 117

7.5）混沌的存在性 119

参考文献Ⅲ 121

第四章 对几个公开问题的探讨 123

1．Reeb问题 123

1.1）空间奇点的结构 123

1.2）例子的构造 124

1.3）孤立奇点的性质 129

2．Birkhoff猜测 130

2.1）非概周期的B-式回复的解析运动的存在性 130

2.2）实现Birkhoff猜测的例子 131

2.3）对Birkhoff猜测的解答 132

2.4）对Nemytskii问题的回答 135

3.1）拓扑传递性和度量传递性 138

3．Morse猜测 138

3.2）Morse猜测的反例 139

3.3）环面上的解析流 143

4．二维流形上的Morse猜测和各态历经定理 147

4.1）闭曲面上的C1光滑流 147

4.2）单侧环路 148

4.3）闭曲面上的准极小集 151

4.4）各态历经定理的证明 152

4.5）闭曲面上拓扑传递流的存在性 153

5.1）问题的提出 155

5.2）准备工作 155

5．Bernfeld-Haddock猜测 155

5.3）猜测的证明 161

6．Kolmogorov问题 163

6.1）Arnold的提法 163

6.2）一个极小环面的再分析 164

6.3）弱混合的极小环面 170

6.4）Kolmogorov问题的部分解答 173

7．闭曲面上的强混合流 174

7.1）左侧型的广义轨线 174

7.2）拓扑传递与强混合 177

参考文献Ⅳ 178

1.1）线性振动与非线性振动 180

1．Duffing方程的周期振动 180

第五章 Duffing方程的非共振性 180

1.2）周期解的分类 182

1.3）Duffing方程的类型 184

1.4）Duffing方程的Poincaré映射 186

2．时间映射 189

2.1）自治Duffing方程的闭轨 189

2.2）固有频率与时间映射 191

2.3）时间映射的极限变差 196

3．超二次位势的Duffing方程 199

3.1）超线性Duffing方程 199

3.2）超二次位势的条件 200

3.3）基本引理 204

3.4）调和解的多解性 207

3.5）次调和解的多解性 208

3.6）推论 210

4．次二次位势的Duffing方程 212

4.1）次线性Duffing方程 212

4.2）大振幅的低频振荡 213

4.3）高阶次调和解 218

4.4）另一类次线性条件 221

5.半线性Duffing方程——隔离共振点 224

5.1）共振点 225

5.2）非线性的共振现象 226

5.3）非共振性条件 227

5.4）隔离共振点的非线性振动 229

6．半线性Duffing方程——接触共振点 231

6.1）文献资料 231

6.2）一个渐近公式 234

6.3）一个基本不等式 236

6.4）主要结果 241

7．半线性Duffing方程——横跨共振点 242

7.1）辐角的摄动 242

7.2）调和解的多解性 246

7.3）次调和解的多解性 249

8.1）一般性质 252

8．时间映射的极限变差 252

8.2）主要结果 256

参考文献Ⅴ 261

第六章 对几个特殊微分方程的分析 264

1．Brillouin电子束的周期聚焦 264

1.1）非线性Mathieu型方程的边值问题 264

1.2）几个引理 265

1.3）周期解的存在性 271

2．Lotka-Volterra周期生态系统 272

2.1）引言 272

2.2）调和循环 274

2.3）次调和循环 278

3.1）引言 282

3．小振幅与大振幅的高频振动 282

3.2）小振幅的受迫振动 283

3.3）大振幅的受迫振动 287

4．高阶Duffing方程 294

4.1）力学意义 294

4.2）准备工作 295

4.3）主要引理 296

4.4）调和振动的存在性 300

5．弱耦合系统 301

5.1）调和振子的弱耦合 301

5.2）几个引理 302

5.3）调和振动的存在性 308

6．小阻尼的半线性Duffing方程 309

6.1）吸引子 309

6.2）基本引理 310

6.3）没有混沌 313

7．在粗周期摄动下的保守振子 314

7.1）粗周期的摄动 314

7.2）辅助方程 315

7.3）辅助运动 317

7.4）无界振动 319

参考文献Ⅵ 324

索引 326