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第一篇 平面积分几何 3

第一章 平面里的凸集 3

1．引言 3

2．直线族的包络 3

3．Minkowski混合面积 5

4．一些特殊凸集 7

5．幺球面面积与幺球体体积 11

6．注记与练习 11

第二章 平面里的点集与Poisson过程 14

1．点集的密度 14

2．初始的积分公式 15

3．三点组的集合 18

4．齐次平面Poisson点过程 20

5．注记 23

第三章 平面里的直线集合 31

1．直线集合的密度 31

2．和凸集或曲线相交的直线 34

3．同两个凸集相交或把它们隔开的直线 36

4．几何应用 39

5．注记与练习 41

第四章 点偶和线偶 50

1．点偶密度 50

2．凸集的弦幂积分 51

3．线偶密度 54

4．随机直线对平面的分割 56

5．注记 64

第五章 平面上的带集 76

1．带集密度 76

2．Buffon投针问题 79

3．点，线与带构成的集合 80

4．一些中值 83

5．注记 85

第六章 平面上的运动群：运动密度 88

1．平面上的运动群 88

2．m上的微分齐式 90

3．运动密度 93

4．线段集合 98

5．同一个已给凸集相交的凸集 101

6．一些积分公式 104

7．一项中值；覆盖问题 106

8．注记与练习 109

第七章 Poincaré和Blaschke的基本公式 119

1．关于运动密度的又一个表达式 119

2．Poincaré公式 120

3．闭曲线的与平面域的总曲率 122

4．Blaschke基本公式 123

5．等周不等式 128

6．一个域能含在另一个内的Hadwiger条件 131

7．注记 133

第八章 图形的格 138

1．定义与基本公式 138

2．域格 140

3．曲线格 143

4．点格 144

5．注记与练习 147

第二篇 一般积分几何 155

第九章 微分齐式与李群 155

1．微分齐式 155

2．Pfaff微分组 158

3．微分流形的映射 160

4．李群；左移与右移 162

5．左不变微分齐式 163

6．Maurer-Cartan方程 165

7．群的不变体元：单模群 170

8．注记与练习 175

第十章 齐性空间的密度与测度 180

1．引论 180

2．不变子群与商群 185

3．齐性空间上密度存在的其他条件 186

4．例 187

5．李变换群 189

6．注记与练习 193

第十一章 仿射诸群 198

1．仿射变换诸群 198

2．对于特殊齐次仿射群的线性空间密度 202

3．对于特殊非齐次仿射群的线性子空间密度 206

4．注记与练习 209

第十二章 En中的运动群 218

1．引言 218

2．En里线性空间密度 221

3．一个微分公式 222

4．绕一个固定q维平面的r维平面密度 224

5． En里r维平面密度的另一式 227

6．线性空间偶 228

7． 注记 231

第三篇 En里的积分几何 243

第十三章 En里的凸集 243

1．凸集与截痕测度积分 243

2．Cauchy公式 246

3．平行凸集；Steiner公式 248

4．关于凸集在线性空间上投影的积分公式 250

5．中曲率积分 251

6．中曲率积分与截痕测度积分 252

7．压平了的凸体的中曲率积分 256

8．注记 258

第十四章 线性子空间，凸集，紧致流形 263

1．和一个凸集相交的r维平面的集合 263

2．几何概率 265

3．En里的Crofton公式 267

4．线性子空间密度之间的一些关系 271

5．和一个流形相交的线性子空间 275

6．超曲面与线性空间 280

7．注记 282

第十五章 En里的运动密度 292

1．关于密度的公式 292

2．体积σr+q-n（Mr∩Mq）的积分 294

3．一个微分公式 297

4．运动基本公式 299

5．关于凸集的基本公式 305

6．关于中曲率积分的中值 306

7．关于柱的基本公式 309

8．一些中值 312

9．En里的格 314

10．注记与练习 315

第十六章 几何应用与统计应用；立体度测法 325

1．从粒子截痕的量分布推测其本身的量分布 325

2．和随机平面的截痕 329

3．和随机直线的截痕 333

4．注记 334

第四篇 常曲率空间积分几何 349

第十七章 非欧积分几何 349

1．n维非欧空间 349

2．非欧空间的Gauss-Bonnet公式 352

3．运动密度与r维平面密度 355

4．和一个固定体相交的r维平面集合 360

5．注记 362

第十八章 非欧空间的Crofton公式与运动基本公式 369

1．Crofton公式 369

2．椭圆空间的对偶公式 371

3．非欧空间的运动基本公式 373

4．非欧空间的Steiner公式 375

5．关于椭圆空间凸体的一个积分公式 377

6．注记 377

第十九章 积分几何与叶层空间；积分几何动向 386

1．叶层空间 386

2．黎曼流形里的短程线集合 387

3．短程线的二维集合的测度 390

4．短程线的2n-2维集合的测度 393

5．短程线段集合 395

6．复空间积分几何 396

7．辛积分几何 402

8．Gelfand积分几何 404

9．注记 408

附录 微分齐式与外微积 413

1．微分齐式与外积 413

2．外积的两项应用 417

3．外微导 419

4．Stokes公式 420

5．与三维欧氏空间矢量分析的比较 422

6．流形上的微分齐式 423

参考文献 426

作者索引 507

内容索引 514