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第一章 数值分析基础 1

1.1一个简单的递推格式 1

1.1.1 0.1不能被双精度精确表示 3

1.1.2函数求值 8

1.1.3对于初始扰动的分析 10

1.2基本迭代格式 14

1.2.1不动点迭代 15

1.2.2 Newton-Raphson方法 20

1.2.3 Logistic方程 24

1.3离散范数和连续范数 27

1.4函数的逼近 29

1.4.1函数的插值 34

1.4.2插值多项式的Newton表示 39

1.5数值积分 42

1.5.1复化求积公式 45

1.5.2 Gauss求积公式 47

1.5.3自适应Simpson求积公式 49

第二章 常微分方程数值方法 55

2.1常微分方程 55

2.1.1线性系统 56

2.1.2适定性 59

2.2计算格式的导出 63

2.2.1数值微分-导数的近似 63

2.2.2 Euler格式的收敛性 67

2.2.3稳定和绝对稳定区域 70

2.3高阶单步方法 73

2.3.1 Taylor级数法 73

2.3.2 Runge-Kutta方法 74

2.3.3 Runge-Kutta-Fehlberg格式和自适应步长调整 79

2.3.4高阶单步方法中的基本概念 82

2.4线性多步方法 85

2.4.1 Adams格式 85

2.4.2 Gear格式（BDF格式） 91

2.5线性多步方法的性态分析 94

2.5.1局部截断误差估计和相容性 94

2.5.2线性多步方法的零稳定性 97

2.5.3非齐次情形 102

2.5.4收敛=稳定+相容 104

2.5.5绝对稳定性和绝对稳定区域 108

2.6刚性问题 112

2.7其他稳定性 118

2.8二阶系统的求解 121

2.8.1 Newton-Stormer-Verlet-leapfrog方法 121

2.8.2 Newmark格式 123

2.8.3 Runge-Kutta方法 124

2.8.4线性多步方法 125

第三章 椭圆型方程的差分方法 128

3.1两点边值问题的差分方法 129

3.1.1两点边值问题 129

3.1.2能量意义下的稳定性 132

3.1.3三点差分格式 136

3.1.4紧致差分格式 144

3.1.5收敛性分析 145

3.1.6特征值问题 151

3.2高维情况 155

3.3求解器 165

3.3.1迭代方法 166

3.3.2多重网格 171

3.3.3 FFT算法 175

3.3.4区域分解 178

第四章 发展方程的差分方法 187

4.1抛物型方程 187

4.2抛物型方程的基本差分格式 192

4.3稳定性分析 195

4.3.1直接法 196

4.3.2分离变量法 201

4.3.3传播因子法 203

4.3.4按最大模范数稳定 207

4.3.5交替方向方法 209

4.4对流方程 213

4.5波动方程 222

第五章 有限元方法简介 232

5.1有限元方法 232

5.1.1有限元离散 232

5.1.2线性三角形元 234

5.1.3单元刚度矩阵和质量矩阵 236

5.1.4边界条件处理 237

5.2 Lagrange型单元 238

5.2.1 Lagrange型三角形元 239

5.2.2 Lagrange型矩形元 242

5.2.3有限元定义 246

5.3 Hermite型单元 247

5.3.1 Hermite型三角形元 247

5.3.2 Hermite型矩形元 250

5.4数值算例 252

5.4.1一维边值问题 252

5.4.2二维边值问题 255

5.5时间相关问题的计算 258

5.5.1抛物型方程 258

5.5.2双曲型方程 262

第六章 有限元方法误差分析 266

6.1变分问题适定性 266

6.1.1 Sobolev空间初步 266

6.1.2 Lax-Milgram引理 270

6.1.3 Poisson方程边值问题适定性 271

6.2有限元误差估计 274

6.2.1有限元逼近 274

6.2.2 H1-模估计 276

6.2.3 L2-模估计 278

6.3其他类型有限元 280

6.3.1数值积分的影响 280

6.3.2等参有限元 283

6.3.3非协调有限元 285

6.4自适应有限元方法 289

6.4.1后验误差分析 289

6.4.2自适应算法 294

参考文献 298