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第一章 矩阵 1

问题1.1矩阵乘法中的几个问题 1

（1）矩阵的乘法为什么要像教材中那样定义 1

（2）矩阵乘法还有其他定义形式吗 4

（3）如何理解双重求和符号的可交换性 6

矩阵的乘法运算要注意哪些问题 6

问题1.2计算一个矩阵的方幂有哪些常见方法 9

（1）用归纳法计算 9

（2）用递推公式计算 10

（3）将矩阵作拆分计算 10

（4）将矩阵相似对角化后作计算 13

（5）用Hamilton-Cayley定理简化计算 13

问题1.3如何理解逆矩阵的概念 14

问题1.4如何理解伴随矩阵的意义 16

问题1.5矩阵的秩有何意义？它有哪些等价的描述 19

问题1.6为什么要引入初等矩阵？它的主要作用是什么 22

问题1.7如何理解矩阵等价中的三条基本性质？矩阵的等价标准形有何意义 24

（1）矩阵等价中的三条基本性质 24

（2）矩阵等价标准形的意义 25

问题1.8矩阵分块有何意义？分块要注意哪些问题 27

（1）降阶，使计算得到简化 27

（2）分割，使问题得到转化 28

问题1.9如何将矩阵的初等变换与初等矩阵推广到分块矩阵 29

问题1.10什么是矩阵的三角分解（LU分解），有何应用 33

第二章 行列式 37

问题2.1行列式的历史沿革 37

问题2.2行列式有哪些不同的定义方式 38

（1）“逆序数法”定义 38

（2）“归纳法”定义 39

（3）“函数法”定义 39

问题2.3行列式有何几何意义 42

（1）超平行多面体的有向面积或体积 43

（2）线性变换下图形面积或体积的伸缩因子 44

问题2.4Cramer法则的多种证明与几何意义 45

（1） Cramer法则的多种证明 45

（2） Cramer法则的几何意义 48

问题2.5行列式的计算有哪些常用方法 49

问题2.6行列式的Laplace展开定理如何证明 58

问题2.7分块行列式也有初等变换性质吗 60

第三章 向量空间与线性方程组 64

问题3.1如何认识“n维向量空间”所研究的问题 64

（1）n维向量空间是3维几何空间的推广 64

（2）n维向量空间是线性空间的一个代表 65

（3）线性方程组与向量组、向量空间 65

问题3.2如何引入线性表出与线性相关等概念 66

（1）线性表出概念的引入 66

（2）线性相关概念的引入 68

问题3.3判定向量组线性相关性的常见方法 68

问题3.4向量组的极大线性无关组有何意义与等价形式 72

（1）向量组的极大线性无关组的概念及其意义 72

（2）极大无关组的等价描述 75

问题3.5何谓两个向量组各个向量之间有相同的线性关系 75

问题3.6矩阵的等价与向量组的等价有何区别与联系 77

问题3.7线性方程组中的几个问题 78

（1）如何理解Gauss消元法解线性方程组的正确性 78

（2）为什么要用向量来表示线性方程组的解 79

（3）非齐次线性方程组线性无关解向量的个数与通解 81

第四章 特征值与特征向量 85

问题4.1如何理解矩阵特征值与特征向量的几何意义 85

（1）实特征值的情况 85

（2）复特征值的情况 87

问题4.2若矩阵多项式f （A）=O，则方程f （λ）=0的根与A的特征值有怎样的关系 88

问题4.3如何确定一个数λ是矩阵A的特征值 90

问题4.4如何理解矩阵特征多项式的系数 91

问题4.5设A是m×n矩阵，B是n× m矩阵，则AB与BA是否有相同的特征值 95

问题4.6如何理解矩阵的不同特征值所对应的特征向量的线性无关性 97

问题4.7什么是特征值的代数重数与几何重数？二者有何关系 98

问题4.8矩阵相似中的几个问题 100

（1）矩阵的相似与等价具有怎样的关系 100

（2）相似矩阵的特征向量有何关系 101

（3）为什么要讨论矩阵的相似对角形 102

（4）能否用初等变换化矩阵为相似对角形 105

问题4.9乘积可交换矩阵一定有公共的特征向量吗 107

问题4.10为什么实对称矩阵一定能正交对角化 112

第五章 二次型 116

问题5.1如何认识二次型所研究的问题 116

问题5.2为什么要确定二次型的矩阵为对称矩阵 117

问题5.3对二次型的研究为什么要以满秩线性变换为手段 118

问题5.4矩阵的等价、相似与合同有何区别与联系 120

问题5.5实二次型xTAx在条件||x|| =1下一定有最大与最小值吗 122

问题5.6为什么说二次型的规范形是唯一的，它有何意义 122

问题5.7化二次型为标准形有哪些常见方法？这些方法有何改进 125

（1）配方法的改进——偏导数法 126

（2）合同变换法的改进——行初等变换法 128

问题5.8如何理解正定二次型与正定矩阵的重要性 129

问题5.9如何作直角坐标变换化一般二次曲面方程为标准方程 133

第六章 应用实例 138