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1导言和基础观念 1

（Ⅰ）导言 2

（A）小学到国中学了什么数学？ 2

（B）高中到大学一年级要学什么数学呢？ 3

（1）向量的内涵4） 4

（2）分析整理向量运算5） 5

（Ⅱ）基础观念 7

（A）线性（linearity）？线性空间（linear space）？ 7

（B）映射，函数与其有关的专用名词观念 11

（1）操作（operation）、算符（operator）与其有关的操作专用名词 11

（a）闭操作？非闭操作？ 12

（b）双操作？单闭双操作？二闭双操作？ 12

（2）什么叫代数体系（algebraic system）？ 12

（3）变换（transformation）？ 13

（a）座标轴不动，粒子作转动 13

（b）粒子不动，座标轴绕原点转动 13

（c）数学和物理的互动 14

（4）映射（mapping）？ 19

（a）定义 19

（b）映射的专用名词 19

（c）等映射？恒等映射？恒等函数？ 20

（d）合成映射（composite mapping）？泛函数（functional）？ 20

（e）全映射？ 21

（f）部映射？ 21

（g） 1对1映射？ 21

（h）多对1映射？ 22

（i）全单映射？逆映射？ 22

（j）有没有1对多映射（one-to-many mapping）呢？ 22

习题和解答 24

第一章 摘要 27

参考文献和註解 29

（1）虚数符号？-1？i，复数（a＋ib， a、 b=实数）怎么诞生？ 29

（a）如何找到π？ 29

（b） e是如何诞生的？ 29

（c）？-1？i的诞生过程，以及复数的产生11） 30

（d）推导（9）式11） 32

（2）空间数？Hamilton四元数？数学量或数学数？ 33

（3）代数学（algebra）？线性代数（linear algebra）？ 35

（4）指数函数（exponential function）？对数函数（logarithmic function）？ 36

（5）向量是什么？其演算法呢？ 39

（a）向量（矢量vector）是什么？ 39

（b）演算法？ 40

（i）标量积（scalar product）或内积（inner product）或点积（dot product）？ 40

（ii）向量积（矢量积vector product）或外积（outer product）或叉积 （cross product）？ 42

（c）向量分析学？线性？ 45

（d） Dirac的左右向量？ 49

（6）集合（set）？群（group）？体（field）？ 52

（a）集合？ 53

（i）定义 53

（ii）数学表示，其表示符号，专用名词 53

（iii）集合的演算 55

（b）群（group）？ 56

（i）定义 56

（ii）加法群或加群（additive group）？｛G，＋｝ 56

（iii）乘法群或乘群（multiplicative group）？｛G，·｝ 57

（c）体（field）？ 58

（i）定义 58

（ii）加法，加法规则’ （additive rules） 58

（iii）乘法，乘法规则’（multiplicative rules） 59

（iv）加法乘法间分配律（distributive law）成立 59

（v）结论 59

（7）偏微分？线性微分方程式？经典物理学？ 60

（a）微分（differential calculus， differentiation）？ 60

（b）偏微分（partial differential calculus， partial differentiation）？ 61

（c）线性微分方程式？ 63

（i）什么是微分方程式？ 63

（ii）什么是线性微分方程式？ 64

（d）经典（古典）物理学？ 64

（8）物理学的宏观世界和微观世界是什么？线性算符是什么？ 66

（a）宏观世界？ 66

（b）微观世界？ 66

（c）如何判别宏微观呢？ 66

（d）线性算符？ 67

（9）矩阵（matrix）是什么？ 69

（a）矩阵简史 69

（i）线性联立方程式（system of linear equations） 69

（ii）行列式（determinant）？矩阵（matrix）？ 71

（b）简介矩阵运算法 82

（i）矩阵，空间（space） 83

（ii）矩阵加法？ 84

（iii）矩阵乘标量？ 85

（iv）矩阵乘矩阵？ 85

（10）变换、操作和算符互有关系吗？ 87

（a）对标量函数（scalar function）的操作（operation） 87

（b）操作者转动算符R现身，与其物理内容 90

（11）燕晓东编译：几何原本（古希腊欧几里得原著），人民日报出版社（2005） 93

O.Schreier and E.Sperner：Introduction to Modern Algebra and Ma- trix Theory， Chelsea Publishing Company， New York， N.Y.， 1955. 93

（12） P.A.M.Dirac：The Principles of Quantum Mechanics， 4th ed.Oxford University Press， 1958. 93

2线性空间与其基底、维度和座标 95

（Ⅰ）物理向量与其空间、基底、维度和座标5，11） 96

（A）物理向量与其性质？5） 96

（1）加法性质 96

（2）乘标量法性质 96

（B）空间？子空间？ 96

（1）空间（space）？ 96

（2）子空间（subspace）？ 97

（a）以物理现象的空间作例 97

（b）以物理现象的内容作例 97

（C）向量的线性独立和线性相依，与其线性组合？5） 99

（1）向量的线性独立和线性相依？ 99

（2）向量的线性组合与其用途？ 100

（a）正交曲线座标系？极座标系？ 101

（b）单位向量的矩阵形式？5） 102

（D）向量的标量积或内积或点积？5） 103

（1）定义（definition） 103

（2）向量长度（length） e是什么？ 104

（3）空间任意两点P1和P2间的距离P1P2是什么？ 105

（4）什么是范数（norm）？ 105

（5）正交性？归一化？正交归一化？ 107

（a） Gram-Schmidt的正交归一化方法 108

（b）什么是投影算符？ 110

（6）基底？维度？座标？座标轴？座标系？ 115

（a）基底（basis）？ 115

（b）维度（dimension）？ 115

（c）座标？座标轴？座标系？标准基底？ 116

（7）座标系种类与其相关名词 118

（a）座标系？正交座标系？ 118

（b） Descartes座标系？Minkowski座标系？ 118

（Ⅱ）代数向量与其空间、基底、维度和座标11） 125

（A）代数向量与其性质？5， 6） 125

（1）加法性质：——[（2-1）式的0用符号φ取代]—— 125

（2）乘标量法性质 125

（B）线性空间？线性子空间？9， 11） 126

（1）线性空间？ 126

（a）线性空间定义 126

（b）布於体F的线性空间V的性质：——（普通称作定理）—— 127

（c）线性空间例’ 129

（2）线性子空间？ 135

（a）定义 135

（b）子空间的例’ 135

（c）线性空间V的线性子空间S1和S2之和（sum）与其共同部分S12？ 143

（d）线性空间V的子空间S1和S2的直和（direct sum）是什么？ 144

（C）线性相依？线性独立？线性组合？5，9，11） 146

（1）代数向量’的线性相依（linear dependence）？ 146

（a）说明 147

（b）线性相依的定义 147

（2）代数向量’的线性独立与线性组合？ 148

（a）线性独立的定义 149

（b）代数向量’的线性组合（linear combination）？ 151

（3）从代数向量’的线性相依性和独立性推演出来的性质 153

（a）线性相依定义的内涵 154

（b）线性独立定义的内涵 155

（D）线性空间的基底和维度与其座标系和座标？11） 156

（1）什么是线性空间的基底呢？ 157

（a）定义线性空间V的基底 157

（b） （a1， a2，…，an）是否线性空间V的唯一（unique）基底？ 158

（c）标准基底（standard basis）？5） 162

（2）线性空间V的维度（dimension）？ 164

（a）维度（维数）的定义 164

（b）从（2-43）1和（2-43）2式归纳出来的基底和维度性质 164

（c）基底和维度的例’ 165

（3）线性空间V的座标系与座标？ 175

（a）定义线性空间的座标（coordinates） 175

（b）座标轴是标准基底时：——（同用图（2-15） （a）来表示）—— 176

（c）座标轴非标准基底（non-standard basis）时 176

（E）代数向量的内积，范数，两点间距离，正交，正交归一？11） 181

（1）内积？ 181

（a）代数向量内积定义 181

（b）内积公理’（axioms） 181

（c）非标准基底展延的内积空间V中的内积成分式 184

（d）标准基底展延的内积空间V中的内积成分式 185

（2）范数（norm）？ 188

（a）范数定义 188

（b）代数向量的范数性质 189

（c）两代数向量X和Y的夹角？ 190

（3）两点间距离？两物理或代数向量间距离？11） 191

（a）从另一角度分析（2-63）1式 192

（b）两连续函数f和g间距离？ 193

（4）正交？正交性？正交代数向量集合？11） 196

（a）正交定义 196

（b）正交集合G的性质 196

（c）正交投影（orthogonal projection）？ 198

（d）正交互馀（正交补orthogonal complement）？ 200

（5）归一化，正交归一，正交归一性，正交归一系，正交归一座标系？11） 203

（a）归一化（normalization）？ 203

（b）正交归一（正交归一化）？正交归一性？正交归一系？ 205

（c） Gram-Schmidt过程或Gram-Schmidt正交归一过程？ 209

习题和解答 213

第二章 摘要 219

参考文献和註解 221

（13）向量’的线性独立与相互垂直 221

（14）运算内积时，乘标量的问题 222

（15）投影算符（projection operator） P？|xk＞＜xk|必须满足以下四规则（四性质） 222

（16）类比物理向量’与其几何图画代数向量’与其几何图 224

（17）数学和物理学的翻译名词之差异 225

3线性变换 227

（Ⅰ）变换（transformation）？ 228

（A）说明 228

（B）线性变换（linear transformation）？ 229

（1）线性变换算符的定义 230

（a）加法性质：——[（2-18）式的a和b换成f和g，φ→0]—— 230

（b）乘标量法性质：——[（2-19）式的a和b换成f和g，1→I]—— 230

（c）除（3-5）式之外，变换算符有下列（3-6）式的乘法性质（公理’） 230

（2）线性变换定义 231

（3）较重要线性变换名称与其定义 232

（Ⅱ）线性变换算符f的矩阵表示与其例题’11，12） 238

（A）f的矩阵表示11，12） 239

（B）f和g的接连变换积（product of transformationsfandg）11） 242

（1）推导f和g积的变换算符h的矩阵 242

（2）图解接连两变换f和g与直接变换h 243

（C）同一线性变换算符f在不同基底的矩阵关系11） 245

（D）较重要的线性变换例题’ 247

（1）证明写成（3-29）1式形式的变换是线性变换的例’ 247

（2）求线性变换算符f的矩f=[fij]和变换内容之例’ 249

（3）转动变换与其矩阵和特徵18） 263

（a）绕正交归一座标轴转动 264

（i）转动轴（axis of rotation）|x3＞ 264

（ii）同理以逆时针向绕|x1＞和|x2＞轴转动θ角的矩阵表示式是 267

（iii）推导（3-38）1到（3-40）2式的过程用的条件是什么？ 268

（b）逆时针方向绕经过R3正交座标原点的任意直线e转θ角 269

（i）独立角度的最大数目，以及正交性条件 269

（ii）线性变换算符矩阵积的非对易性 279

（c） 正交矩阵（orthogonal matrix）的性质 281

（i）代数向量的大小不受转动变换影响 281

（ii）证明（3-63）式 282

（E）标准矩阵（standard matrix）是什么9～12）？ 285

（1）线性联立方程组的行向量与列向量表示法9） 285

（a）行向量表示法或称作向量形式 285

（b）列向量表示法或称作矩阵形式 288

（2）标准矩阵（standard matrix）是什么？ 295

（F）经典物理学（classical physics）的两重要座标系的线性变换 306

（1） Galilei座标系线性变换，简称Gaillei变换（Galilean transformation）？ 306

（a）惯性座标系（inertial system）？ 306

（b） Gailiei变换？ 307

（2） Lorentz座标系线性变换，简称Lorentz变换（Lorentz transformation）？ 309

（a） Minkowski空间内的两点间距离d 309

（b）推导Lorentz变换 311

（G）么正变换（unitary transformation）？ 318

习题和解答 319

第三章 摘要 335

参考文献和註解 337

（18）Jerry B.Marion and Stephen T.Thornton：Classical Dynamics of Particles and Systems， 3rd.ed.Harcourt Brace Jovanovich， Publishers， 1988 337

（19）林清凉，戴念祖：启发性物理学电磁学3版——宏观电磁学，光学和狭义相对论—— 五南图书出版股份有限公司，2011 337

4矩阵 339

（Ⅰ）矩阵定义及常用矩阵’11） 340

（A）回顾和定位 340

（B）矩阵的定义及常用矩阵’ 341

（1）定义 341

（2）常用矩阵’ 341

（a）代数向量矩阵，简称为代数向量 341

（b）特殊矩阵’1 342

（c）转置矩阵（transposed matrix）？ 344

（d）共轭（或复数共轭，或复共轭）矩阵？ 346

（e）特殊矩阵’2 346

（Ⅱ）矩阵的基础代数运算 354

（A）基础矩阵代数学 354

（1）矩阵的加法和减法 354

（a）演算 354

（b）加减法规则：——（A，B，C都是m×n矩阵）—— 355

（c）加减法特性：——（A，B，Z都是m×n矩阵）—— 355

（d）相等矩阵？ 355

（2）矩阵与标量α和β的相乘： 356

（a）演算 356

（b）乘标量法规则：——（A，B都是m×n矩阵）—— 356

（c）乘标量法特性 356

（3）矩阵与矩阵的相乘 357

（a）演算 357

（b）矩阵乘矩阵规则：——（A和E=m×n矩阵，B=n×e而C=e×k矩阵）—— 367

（c）矩阵乘矩阵的特性 367

（d）基本矩阵’（elementary matrices）？基本操作？ 377

（B）线性联立方程组（systems of linear equations） 387

（1） Gauss消去法的解题步骤 388

（a）一些专用名词 388

（Ⅲ）矩阵秩数（rank of matrix） 391

（A）基础观念和定义与其性质 391

（1）矩阵的秩数定义 392

（2）矩阵的秩数性质 392

（3）等价矩阵’（equivalent matrices） 393

（4）什么是矩阵的标准形？ 393

（5）非奇异（正则）矩阵的等价条件（equivalence condition） 393

（6）有成分的物理算符矩阵的秩数 405

（B）矩阵和线性空间 405

（1）什么是线性变换算符f的核（kernel）？ 407

（2）秩一零化度定理是什么？ 415

（Ⅳ）逆矩阵（inverse of matrix） 421

（A）逆矩阵的定义与其一些性质（基础定理’） 422

（1）逆矩阵的定义 422

（2）逆矩阵的一些性质（基础定理’） 422

（B）行列式（determinant）简介 423

（1）行列式的定义 423

（2）行列式的一些重要性质（基础定理’） 426

（C）逆矩阵的求法 427

（1）伴随矩阵（adjoint matrix）是什么？ 427

（a）伴随矩阵adj.A的定义 427

（b）伴随矩阵的性质（定理）及逆矩阵式 428

（2）求逆矩阵的Gauss-Jordan法 434

（D）矩阵的分割与LU分解 438

（1）矩阵的分割（partitioning a matrix）？ 438

（a）定义 438

（b）分块的矩阵演算 439

（2）矩阵的LU分解（LUdecomposition of a matrix）？ 442

习题和解答 449

第四章 摘要 455

参考文献和註解 459

（20）原子核是什么？什么叫同位旋？ 459

（21）林清凉：近代物理（Ⅱ），二版2010五南图书出版股份有限公司 460

5本徵值与本徵向量 461

（Ⅰ）本徵（eigen或characteristic）名称来源 462

（A）刚体（rigid body）的转动18）？ 462

（1）转动惯量是什么？ 462

（2）第2秩张量与3×3方阵有没有直接关系？本徵值，本徵向量？ 465

（B）耦合振动（coupled oscillation） 18）？ 470

（1）什么叫振动（oscillation， vibration）？与其有关名词 470

（2）一些专用名词 470

（a）边界条件（boundary condition）？ 470

（b）初始条件（initial condition）？ 471

（c）本徵频率与本徵角频率？ 471

（d）本徵向量或本徵函数？本徵空间？ 471

（3）简谐振子，简称谐振子是什么？ 476

（Ⅱ）矩阵与微分算符的本徵值与本徵向量11，12） 485

（A）矩阵的本徵值、本徵向量、本徵空间与本徵基底 485

（1）本徵值、本徵向量与其性质？ 485

（a）本徵值与本徵向量的定义 485

（b）求n次（也译成阶degree）方阵的本徵值 486

（c）求n次（degree）方阵的本徵向量 489

（d）在（b）和（c）节未提的本徵值与本徵向量性质 513

（2）矩阵幂级数 519

（3）离散动态物理体系与其状态向量 521

（B）矩阵的对角化 532

（1）为什么需要矩阵的对角化？ 532

（2）如何执行对角化？ 534

（a）对角化任意n×n方阵A的定义 535

（b）能对角化的n×n方阵A的性质 535

（c）物理学常用矩阵的变换与其对角化 537

（i）实对称矩阵As的变换与其对角化 538

（ii） Hermitian矩阵H的变换与其对角化 539

（3）同步（或同时）对角化是什么？如何求n次方阵A的函数f（A）？ 562

（4）本徵值有多重值的n次方阵A的函数f（A） 576

（a） Cayley-Hamilton定理（theorem） 576

（b） Cayley-Hamilton定理的推论，极小多项式Φ（α）是什么？ 582

（5）非奇异n次方阵A的多项式P（A）的本徵值 597

（C）双线性形式？二次形式？ 599

（1）双映射？双线性形式？ 599

（a）跃迁矩阵？ 601

（2）二次形式？ 604

（a）期望值？Hermitian形式？ 605

（b）化约二次形式成为典范（或正则）形式 610

（D）系数为常数与非常数的联立与非联立线性微分方程式 619

（1）时间一阶联立线性微分方程式 619

（a）没物理体系成员间的相互作用之外的作用，并且是实线性空间 619

（b）没物理体系成员间的相互作用之外的作用，并且是复数线性空间 629

（2）时间二阶联立线性微分方程式 638

（a）非耦合简谐运动（uncoupled simple harmonic motion）？ 639

（b）耦合简谐运动（coupled simple harmonic motion）？ 640

（3）n阶线性微分方程式（n-th order linear differential equation） 646

（a）一般解？ 646

（b）求没多重根的（5-161）3式的互补解Xc（t） 648

（c）求有多重根的（5-161）3式的互补解Xc（t）和特殊解Xp（t） 654

（d）求特殊解的一个方法与转换齐次线性微分方程n阶为1阶 659

习题和解答 672

第五章 摘要 694

参考文献和註解 697

（22）林清凉和戴念祖著：力学，4版——牛顿力学，弹性、流体和热力学——五南图书出版股份有限公司，2008的附录（E） 697

附录 698

基础数学的重要领域和三个普世常数（π， e，i） 698

索引 705