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第1讲 函数极限 1

1.1 内容概述 1

1.2 典型例题分析 1

【题型1-1】0/0型极限 1

【题型1-2】∞/∞型极限 4

【题型1-3】∞-∞型与0·∞型极限 6

【题型1-4】1∞型、00型和∞0型的极限 8

【题型1-5】证明极限存在或估计极限的范围 9

【题型1-6】估计无穷小量的阶或求无穷小量的主部 11

【题型1-7】无穷大量的阶或比较 13

【题型1-8】已知某极限求另一极限，或求其中的参数，或求抽象函数的函数值 14

【题型1-9】有界函数×无穷小量问题 16

【题型1-10】综合问题 16

1.3 精选备赛练习 17

1.4 答案与提示 19

第2讲 数列极限 20

2.1 内容概述 20

2.2 典型例题分析 20

【题型2-1】n项和Sn的极限 20

【题型2-2】n项乘积的极限 23

【题型2-3】递推数列的极限 24

【题型2-4】施瓦茨定理及应用 27

【题型2-5】其他数列极限问题 30

2.3 精选备赛练习 32

2.4 答案与提示 33

第3讲 连续、导数与微分 35

3.1 内容概述 35

3.2 典型例题分析 35

【题型3-1】函数的连续性的讨论 35

【题型3-2】连续函数的介值问题 37

【题型3-3】可导性的判断与按定义求导数的有关问题 39

【题型3-4】反函数、隐函数、由参数方程确定的函数的高阶导数 41

【题型3-5】一般显函数的n阶导数 43

【题型3-6】导函数的相关性质 44

3.3 精选备赛练习 47

3.4 答案与提示 48

第4讲 微分中值定理与导数的应用 49

4.1 内容概述 49

4.2 典型例题分析 49

【题型4-1】中值的存在性问题 49

【题型4-2】不等式的证明 57

【题型4-3】函数的性态以及方程的根的讨论 62

4.3 精选备赛练习 66

4.4 答案与提示 69

第5讲 不定积分 72

5.1 内容概述 72

5.2 典型例题分析 72

【题型5-1】概念性题目 72

【题型5-2】用直接积分法计算不定积分 74

【题型5-3】用凑微分法计算不定积分 75

【题型5-4】用换元积分法计算不定积分 77

【题型5-5】用分部积分法计算不定积分 81

【题型5-6】有理函数、三角函数的有理式、无理函数的积分 82

【题型5-7】综合例题 85

5.3 精选备赛练习 87

5.4 答案与提示 88

第6讲 定积分与反常积分 90

6.1 内容概述 90

6.2 典型例题分析 90

【题型6-1】定积分的计算 90

【题型6-2】利用某些积分公式计算定积分 95

【题型6-3】定积分概念的有关问题 97

【题型6-4】变限积分的相关问题 100

【题型6-5】定积分等式与不等式的证明 103

【题型6-6】反常积分的计算 112

【题型6-7】定积分的应用 116

6.3 精选备赛练习 120

6.4 答案与提示 123

第7讲 微分方程 126

7.1 内容概述 126

7.2 典型例题分析 126

【题型7-1】通过变换解微分方程 126

【题型7-2】能够化为欧拉方程的问题 128

【题型7-3】能够化为可降阶的二阶微分方程的问题 129

【题型7-4】综合题 131

【题型7-5】应用题 134

7.3 精选备赛练习 137

7.4 答案与提示 141

第8讲 矢量代数与空间解析几何 144

8.1 内容概述 144

8.2 典型例题分析 144

【题型8-1】矢量的运算 144

【题型8-2】平面与直线 145

【题型8-3】曲面与曲线 148

8.3 精选备赛练习 150

8.4 答案与提示 152

第9讲 多元函数微分学 154

9.1 内容概述 154

9.2 典型例题分析 154

【题型9-1】求二重极限或证明二重极限不存在 154

【题型9-2】判断函数连续、偏导数存在、可微以及方向导数存在的问题 155

【题型9-3】求偏导数问题 159

【题型9-4】极值及最值问题 161

【题型9-5】综合问题 163

9.3 精选备赛练习 165

9.4 答案与提示 166

第10讲 重积分 168

10.1 内容概述 168

10.2 典型例题分析 168

【题型10-1】在直角坐标系和极坐标系下计算二重积分 168

【题型10-2】用二重积分的一般代换公式计算二重积分 175

【题型10-3】三重积分的计算 180

【题型10-4】重积分的应用 184

10.3 精选备赛练习 188

10.4 答案与提示 189

第11讲 曲线积分 191

11.1 内容概述 191

11.2 典型例题分析 191

【题型11-1】第一型曲线积分的计算 191

【题型11-2】平面第二型曲线积分的计算 194

【题型11-3】空间第二型曲线积分 198

【题型11-4】曲线积分与路径无关的条件的应用 201

【题型11-5】综合题 202

11.3 精选备赛练习 205

11.4 答案与提示 208

第12讲 曲面积分 210

12.1 内容概述 210

12.2 典型例题分析 210

【题型12-1】第一型曲面积分的计算 210

【题型12-2】第二型曲面积分的计算 213

【题型12-3】综合题 217

12.3 精选备赛练习 224

12.4 答案与提示 226

第13讲 无穷级数 227

13.1 内容概述 227

13.2 典型例题分析 227

【题型13-1】通过计算数项级数的部分和求级数的和 227

【题型13-2】利用比值判别法、根值判别法对正项级数判敛 228

【题型13-3】使用比较判别法及其极限形式对正项级数的判敛 230

【题型13-4】变号级数判敛 232

【题型13-5】通项包含有抽象数列的级数的敛散性证明 234

【题型13-6】求幂级数的收敛区间与收敛域 238

【题型13-7】将函数展开为幂级数 240

【题型13-8】求幂级数的和函数 243

【题型13-9】利用幂级数求数项级数的和 245

【题型13-10】利用级数讨论反常积分的敛散并求积分 247

【题型13-11】综合题 250

13.3 精选备赛练习 253

13.4 答案与提示 256

附录 260

首届全国大学生数学竞赛预赛试题及参考解答（非数学类，2009） 260

首届全国大学生数学竞赛决赛试题及参考解答（非数学类，2010） 265

第二届中国大学生数学竞赛预赛试题及参考解答（非数学类，2010） 271

第二届全国大学生数学竞赛决赛试题及参考解答（非数学类，2011） 277

第三届全国大学生数学竞赛预赛试题及参考解答（非数学类，2011） 282

第三届全国大学生数学竞赛决赛试题及参考解答（非数学类，2012） 286

第四届全国大学生数学竞赛预赛试题及参考解答（非数学类，2012） 292

第四届全国大学生数学竞赛决赛试题及参考解答（非数学类，2013） 297

第五届全国大学生数学竞赛预赛试题及参考解答（非数学类，2013） 301

第五届全国大学生数学竞赛决赛试题及参考解答（非数学类，2014） 306