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绪论 1

0.1 研究对象 1

0.2 研究内容 2

0.2.1 结构系统的构造形式 2

0.2.2 力学原理 2

0.2.3 结构系统的数学模型 3

第一章 弹性动力学基础 5

1.1 弹性动力学的基本概念与基本假设 5

1.1.1 连续介质的概念 5

1.1.2 基本假设 5

1.1.3 场变量的概念 5

1.1.4 时间的概念 6

1.2 位移、变形与应变分析 7

1.2.1 位移与变形梯度 7

1.2.2 微体的应变分析与几何方程 9

1.2.3 主应变与应变不变量 9

1.2.4 体积变化与形状变化 10

1.2.5 应变协调方程（相容性条件） 11

1.3 运动与惯性分析 11

1.3.1 运动参考系 11

1.3.2 速度场变量与应变率 11

1.3.3 材料的惯性性质与动量 12

1.4 作用力、内力与应力分析 12

1.4.1 作用力的分类 12

1.4.2 内力与应力分析 13

1.4.3 主应力与应力不变量 14

1.4.4 弹性体的运动方程 16

1.5 弹性材料的本构关系 16

1.5.1 热力学基本定律 16

1.5.2 应变能密度函数 17

1.5.3 弹性体的本构关系 18

1.5.4 各向同性线弹性材料的本构关系 19

1.6 弹性体动力学基本方程 20

1.6.1 位移形式的弹性体动力学基本方程 20

1.6.2 边界条件与初始条件 21

1.6.3 弹性动力学的基本问题及基本解法 22

第二章 弹性体动力学的变分原理 25

2.1 弹性体动力学的功能概念 25

2.1.1 外力功的概念 25

2.1.2 应变能的概念 25

2.1.3 动能的概念 26

2.2 虚位移原理（微分原理） 26

2.2.1 虚位移与虚功的概念 26

2.2.2 弹性体静力学的虚位移原理 27

2.2.3 弹性体动力学的虚位移原理 27

2.3 最小位能原理 28

2.3.1 泛函的概念 28

2.3.2 弹性体位能与最小位能原理 28

2.3.3 卡氏第一定理 29

2.4 虚力原理 30

2.4.1 虚力与虚余功的概念 30

2.4.2 弹性体静力学的虚力原理 31

2.4.3 弹性体动力学的虚力原理 31

2.5 最小余能原理 31

2.5.1 余能与最小余能原理 32

2.5.2 卡氏第二定理 33

2.6 哈密尔登（Hamilton）作用量原理（积分原理） 33

2.6.1 作用量的概念 33

2.6.2 哈密尔登作用量原理 34

2.7 弹性体动力学的拉格朗（Lagrange）方程 35

2.7.1 泛函驻值问题化为控制微分方程 35

2.7.2 弹性体的拉格朗日方程及边界条件 36

2.8 柯丁（Gurtin）变分原理 38

2.8.1 弹性体动力学基本方程的拉氏变换式 38

2.8.2 柯丁变分原理的拉氏域表达式 40

2.8.3 柯丁变分原理的时间域表达式 40

2.9 瑞利（Rayleigh）商变分原理 41

2.9.1 弹性体瑞利商的定义 41

2.9.2 瑞利商变分原理 43

2.9.3 瑞利商的性质 44

第三章 弹性体的振动 47

3.1 弦的振动 47

3.1.1 用动力学基本定律建立弦振动基本方程 47

3.1.2 用能量变分原理建立弦振动基本方程 48

3.1.3 弦振动方程的基本解法之一：分离变量法 49

3.1.4 弦振动方程的基本解法之二：波传播法 52

3.1.5 弦振动方程的基本解法之三：拉氏变换法 55

3.1.6 弹性杆的轴向振动 56

3.1.7 弹性轴的扭转振动 58

3.2 弹性粱的振动 59

3.2.1 伯努里—欧拉（Bernoulli—Euler）粱振动的基本方程 59

3.2.2 伯努里—欧拉梁振动的解法之一——分离变量法 62

3.2.3 伯努里—欧拉粱振动的解法之二——波传播法 64

3.2.4 铁木辛柯（Timoshenko）梁振动的基本方程 66

3.2.5 铁木辛柯粱振动的解法 68

3.3 弹性薄膜的振动 71

3.3.1 弹性薄膜振动的基本方程 71

3.3.2 矩形薄膜的振动 73

3.3.3 圆形薄膜的振动 74

3.4 弹性薄板的弯曲振动 76

3.4.1 弹性薄板弯曲振动的基本方程 76

3.4.2 矩形板的振动 81

3.4.3 圆板的振动 84

第四章 动力学有限元基础 87

4.1 结构的离散化 87

4.1.1 离散化的概念 87

4.1.2 组集的概念 89

4.1.3 收敛性准则 89

4.2 能量变分法 90

4.2.1 结构系统振动基本方程 90

4.2.2 虚功原理 90

4.2.3 能量变分原理 91

4.2.4 插值函数的选取 92

4.3 有限元动力学特性矩阵的生成 94

4.3.1 结构系统的有限元模型 94

4.3.2 动能函数与质量矩阵 96

4.3.3 应变能与刚度矩阵 98

4.3.4 耗散函数与粘性阻尼矩阵 99

4.4 加权残量法 99

4.4.1 系统动力学控制微分方程 99

4.4.2 解函数与权函数的选取 100

4.4.3 加权残量法的几种形式 102

4.5 伽辽金（Galerkin）法 102

4.5.1 伽辽金法的一般形式 102

4.5.2 解函数的选取 104

第五章 C0有限元 104

5.1 一维弹性杆纵向振动基本方程 104

5.1.1 前言 104

5.1.2 弹性杆的力学分析 105

5.1.3 弹性杆的能量分析 108

5.1.4 均质等剖面直杆纵向振动的解析解 109

5.2 一维弹性杆元素 109

5.2.1 理论基础 110

5.2.2 形函数 110

5.2.3 弹性杆的静态有限元 112

5.2.4 解析动态有限元 114

5.2.5 频率幂级数动态有限元 117

5.2.6 高次有限元 118

5.3 二维弹性薄膜振动的基本方程 118

5.3.1 弹性薄膜的力学分析 119

5.3.2 弹性薄膜的能量分析 120

5.4 二维薄膜有限元 120

5.4.1 三角形膜元素 124

5.4.2 动态有限元 126

5.4.3 矩形膜元素 128

第六章 C1有限元 128

6.1 一维弹性梁的基本概念与基本方程 128

6.1.1 弹性梁的基本概念与基本假设 128

6.1.2 弹性梁的力学分析与基本方程 130

6.1.3 弹性梁的能量分析 131

6.2 伯努里——欧拉弹性粱元素 131

6.2.1 基本方程 131

6.2.2 弹性梁的静态有限元 133

6.2.3 弹性梁的解析动态有限元 135

6.2.4 弹性梁的频率幂级数动态有限元 139

6.2.5 弹性梁的高次有限元 139

6.3 铁木辛柯弹性梁元素 139

6.3.1 基本方程 140

6.3.2 铁木辛柯粱的静态有限元 144

6.4 旋转弹性梁元素 146

6.4.1 旋转梁振动的基本方程 146

6.4.2 旋转梁的能量关系式 146

6.4.3 旋转梁元素 147

6.5 二维弹性薄板的基本方程 148

6.5.1 定义与基本假设 148

6.5.2 弹性薄板的力学分析 148

6.5.3 弹性薄板的能量分析 150

6.5.4 三角形薄板有限元 151

第七章 固有模态理论 155

7.1 离散有限元模型的振动基本方程 155

7.1.1 模型抽象化 155

7.1.2 数学模型的分类： 155

7.2 无阻尼结构系统的动力学基本方程 157

7.2.1 无阻尼结构系统的有限元模型 157

7.2.2 无阻尼结构系统自由振动基本方程及其解 158

7.3 无阻尼结构系统的固有振动特性 159

7.3.1 无阻尼结构系统动力学基本方程的特征解 159

7.3.2 结构系统振动的固有模态特性 161

7.4 固有模态空间及结构系统动力学基本方程 163

7.4.1 固有模态空间 163

7.4.2 结构系统动力学的模态方程 163

第八章 阻尼模态理论 165

8.1 阻尼模型 165

8.1.1 阻尼的概念 165

8.1.2 粘性阻尼模型 165

8.1.3 材料阻尼模型 166

8.1.4 摩擦阻尼模型 167

8.2 阻尼结构系统的动力学基本方程 168

8.2.1 阻尼结构系统的能量分析 168

8.2.2 离散化的阻尼结构系统的数学模型 169

8.3 比例阻尼结构系统的振动特性 171

8.3.1 比例阻尼结构系统的定义 171

8.3.2 阻尼结构系统的特征方程 172

8.3.3 比例阻尼结构系统的特征解 173

8.4 一般阻尼结构系统的振动特性 176

8.4.1 状态方程及其特征问题 176

8.4.2 特征值与状态特征向量 177

8.4.3 位移模态向量 178

8.5 复模态空间内的阻尼结构系统动力学方程 180

8.5.1 复模态空间内的状态方程 180

8.5.2 复模态空间内的位移方程 181

8.5.3 复模态向量与实模态向量 182

第九章 阻尼结构系统的响应理论 184

9.1 结构系统的动响应概念 184

9.1.1 结构动力学的两大基本问题 184

9.1.2 载荷分析 184

9.1.3 结构系统动响应问题的提法 186

9.2 比例阻尼结构系统的频率响应 186

9.2.1 基本方程及其频率解 187

9.2.2 模态空间的频率响应 187

9.2.3 频率响应函数的特性 189

9.3 比例阻尼结构系统的脉冲响应 192

9.3.1 基本方程及其时域解 192

9.3.2 脉冲响应函数 195

9.3.3 阶跃响应函数 196

9.3.4 时间域内的动响应分析 198

9.4 比例阻尼结构系统的传递函数 198

9.4.1 结构系统动力学方程的拉氏变换式 199

9.4.2 比例阻尼结构系统的传递函数 199

9.5 一般阻尼结构系统的状态方程及其一般解 201

9.5.1 阻尼结构系统的状态方程 201

9.5.2 状态方程的齐次解及其状态转移矩阵 202

9.5.3 状态方程的零初值响应及时间域的动响应 203

9.5.4 模态空间内的动响应 205

9.6 一般阻尼结构系统的脉冲响应矩阵 206

9.6.1 阻尼结构系统的位移响应解 206

9.6.2 一般阻尼结构系统的位移脉冲响应函数 207

9.6.3 一般阻尼结构系统的速度脉冲响应函数 209

9.6.4 复模态特性分析 210

9.7 一般阻尼结构系统的传递函数 210

9.7.1 状态传递函数 210

9.7.2 位移传递函数 211

9.7.3 速度传递函数 212

9.8 一般阻尼结构系统的频率响应函数 213