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第一篇 微积分 1

第一章 函数 极限 连续 1

考点与要求 1

1 函数 1

内容精讲 1

一、函数的概念及表示方法 1

二、函数的性态 2

三、几个与函数相关的概念 2

四、重要公式与结论 3

例题分析 4

一、求函数的定义域及表达式 4

二、函数的特性 6

2 极限 8

内容精讲 8

一、极限的定义 8

二、数列极限的基本性质 9

三、函数极限的基本性质 9

四、无穷小量与无穷大量 10

五、极限的四则运算法则 11

六、两个重要极限 11

七、极限存在的两个准则 11

八、洛必达（L Hospital）法则 11

九、重要公式与结论 12

例题分析 13

一、极限的概念与性质 13

二、求函数的极限 14

三、求数列的极限 21

四、求含参变量的极限 22

五、无穷小量阶的比较 22

六、函数极限的反问题 23

3 函数的连续与间断 25

内容精讲 25

一、连续的定义 25

二、函数的间断点及其分类 25

三、连续函数性质 26

四、重要定理与结论 26

例题分析 26

一、函数的连续性及间断点的分类 26

二、连续函数性质的应用 28

第二章 一元函数微分学 30

考点与要求 30

1 导数与微分 30

内容精讲 30

一、导数的概念 30

二、导数的计算 31

三、微分 33

四、重要公式与结论 33

例题分析 34

一、有关导数的定义及性质 34

二、含有绝对值函数的导数 37

三、导数的几何意义 38

四、变限积分的导数 39

五、利用导数公式及法则求导 40

六、可导条件下求待定的参数 43

七、求函数的高阶导数 43

2 导数的应用 45

内容精讲 45

一、函数的单调性与极值 45

二、曲线的凹凸性与拐点 46

三、曲线的渐近线 46

四、函数图形的描绘 47

五、重要公式与结论 47

例题分析 47

一、求函数的单调区间与极值 47

二、判断曲线的凹凸性与拐点 49

三、求曲线的渐近线 50

四、导数的经济应用 50

3 中值定理及不等式的证明 52

内容精讲 52

一、微分中值定理 52

二、补充公式与结论 53

三、与本章例题有关的其它内容 53

例题分析 53

一、证明存在ξ使f（ξ）＝0 53

二、讨论方程根的个数及范围 55

三、证明存在ξ，使f（n）（ξ）＝0（n＝1，2，…） 56

四、证明存在ξ，使G（ξ，f（ξ），f′（ξ））＝0 57

五、含有f″（ξ）（或更高阶导数）的介值问题 59

六、双介值问题F（ξ，η，…）＝0 59

七、不等式的证明 60

第三章 一元函数积分学 66

考点与要求 66

1 不定积分 66

内容精讲 66

一、不定积分的概念与性质 66

二、基本积分公式 67

三、三个积分方法 67

四、重要公式与结论 68

例题分析 70

一、不定积分的概念和性质 70

二、不定积分的计算 71

2 定积分 80

内容精讲 80

一、定积分的概念与性质 80

二、定积分的几个定理 81

三、定积分的计算方法 82

四、重要公式与结论 82

例题分析 83

一、定积分的概念及性质 83

二、定积分的计算 86

三、有关变限积分的问题 91

四、定积分的证明题 92

3 反常积分 94

内容精讲 94

一、无穷区间的反常积分 94

二、无界函数的反常积分 94

三、几个重要的反常积分 95

例题分析 96

4 定积分的应用 98

内容精讲 98

一、定积分应用的基本原理—微元法（元素法） 98

二、定积分的几何应用 98

例题分析 99

一、定积分的几何应用 99

二、定积分的经济应用 101

第四章 多元函数微积分学 103

考点与要求 103

1 多元函数微分学 103

内容精讲 103

一、多元函数的极限与连续 103

二、偏导数与全微分 104

三、复合函数求导法则 105

四、隐函数的求导公式 106

五、多元函数的极值 106

六、重要公式与结论 107

例题分析 107

一、二元函数的极限与连续 107

二、偏导数与全微分的概念 109

三、求复合函数的偏导数与全微分 112

四、求隐函数的偏导数与全微分 117

五、变量替换下表达式的变形 119

六、多元函数微分学的反问题 122

七、多元函数的极值与最值 123

2 二重积分 129

内容精讲 129

一、二重积分的概念与性质 129

二、二重积分的计算 130

三、重要公式与结论 130

例题分析 131

一、二重积分的概念及性质 131

二、二重积分的基本计算 132

三、利用区域的对称性和函数的奇偶性计算积分 135

四、分块函数的二重积分 138

五、交换积分次序及坐标系 139

六、反常二重积分的计算 141

七、与二重积分相关的证明 142

第五章 无穷级数 144

考点与要求 144

1 常数项级数 144

内容精讲 144

一、基本概念和基本性质 144

二、正项（不变号）级数敛散性的判别法 145

三、任意项（变号）级数敛散性的判别法 145

四、重要公式与结论 146

例题分析 146

一、正项级数敛散性的判定 147

二、交错级数的敛散性的判定 150

三、任意项级数敛散性的判定 152

四、数项级数敛散性的证明 155

五、利用收敛级数求极限 157

2 幂级数 158

内容精讲 158

例题分析 159

一、求幂级数的收敛半径及收敛域 159

二、求幂级数的和函数 162

三、求数项级数的和 165

四、函数展开为幂级数 167

五、经济中的应用 168

第六章 常微分方程与差分方程 170

考点与要求 170

1 常微分方程 170

内容精讲 170

一、几个基本概念 170

二、常见的一阶微分方程及其解法 171

三、二阶线性微分方程 171

例题分析 173

一、一阶微分方程的求解 173

二、二阶线性微分方程 176

三、可化为微分方程求解的问题 178

四、微分方程的应用 181

2 差分方程 183

内容精讲 183

一、差分的概念 183

二、一阶常系数线性差分方程 184

例题分析 184

第二篇 线性代数 186

第一章 行列式 186

考点与要求 186

内容精讲 186

例题分析 189

一、数字型行列式的计算 189

二、抽象型行列式的计算 195

三、行列式｜A｜是否为零的判定 197

四、关于代数余子式求和 197

第二章 矩阵 200

考点与要求 200

内容精讲 200

1 矩阵的概念及运算 200

一、矩阵的概念 200

二、矩阵的运算 201

三、矩阵的运算规则 201

四、特殊矩阵 202

2 可逆矩阵 203

一、可逆矩阵的概念 203

二、n阶矩阵A可逆的充分必要条件 203

三、逆矩阵的运算性质 203

四、求逆矩阵的方法 203

3 初等变换、初等矩阵 204

一、定义 204

二、初等矩阵与初等变换的性质 204

4 矩阵的秩 205

一、矩阵秩的概念 205

二、矩阵秩的公式 205

5 分块矩阵 206

一、分块矩阵的概念 206

二、分块矩阵的运算 206

例题分析 207

一、矩阵的概念及运算 207

二、特殊方阵的幂 211

三、伴随矩阵的相关问题 213

四、可逆矩阵的相关问题 215

五、初等变换、初等矩阵 219

六、矩阵秩的计算 220

第三章 向量 225

考点与要求 225

内容精讲 225

1 n维向量的概念与运算 225

2 线性表出、线性相关 226

3 极大线性无关组、秩 227

4 Schmidt正交化、正交矩阵 227

例题分析 228

一、线性相关的判别 228

二、向量的线性表示 229

三、线性相关与线性无关的证明 231

四、秩与极大线性无关组 234

五、正交化、正交矩阵 236

第四章 线性方程组 238

考点与要求 238

内容精讲 238

1 克拉默法则 238

2 齐次线性方程组 238

3 非齐次线性方程组 240

例题分析 241

一、线性方程组的基本概念题 241

二、线性方程组的求解 244

三、基础解系 250

四、AX＝0的系数行向量和解向量的关系，由AX＝0的基础解系反求A 252

五、非齐次线性方程组系数列向量与解向量的关系 253

六、两个方程组的公共解 255

七、同解方程组 256

八、线性方程组的有关杂题 258

第五章 特征值、特征向量、相似矩阵 261

考点与要求 261

内容精讲 261

1 特征值、特征向量 261

一、定义 261

二、特征值的性质 261

三、求特征值、特征向量的方法 261

2 相似矩阵、矩阵的相似对角化 262

一、定义 262

二、矩阵可相似对角化的充分必要条件 262

三、相似矩阵的性质及相似矩阵的必要条件 263

3 实对称矩阵的相似对角化 263

一、定义 263

二、实对称阵的特征值，特征向量及相似对角化 263

三、实对称矩阵正交相似于对角阵的步骤 263

例题分析 264

一、特征值，特征向量的求法 264

二、两个矩阵有相同的特征值的证明 268

三、关于特征向量及其他给出特征值特征向量的方法 269

四、矩阵是否相似于对角阵 270

五、利用特征值、特征向量及相似矩阵确定参数 273

六、由特征值、特征向量反求A 273

七、矩阵相似及相似标准形 274

八、相似对角阵的应用 279

第六章 二次型 283

考点与要求 283

内容精讲 283

1 二次型的定义、矩阵表示，合同矩阵 283

一、二次型概念 283

二、二次型的矩阵表示 283

2 化二次型为标准形、规范形 合同二次型 284

一、定义 284

3 正定二次型、正定矩阵 285

一、定义 285

例题分析 286

一、二次型的矩阵表示 286

二、化二次型为标准形、规范形 287

三、合同矩阵、合同二次型 293

四、正定性的判别 295

五、正定二次型的证明 300

六、综合杂题 301

第三篇 概率论与数理统计 303

第一章 随机事件与概率 303

考点与要求 303

1 事件、样本空间、事件间的关系与运算 303

内容精讲 303

例题分析 305

2 概率、条件概率、独立性和五大公式 307

内容精讲 307

例题分析 309

3 古典概型与伯努利概型 313

内容精讲 313

例题分析 314

第二章 随机变量及其概率分布 317

考点与要求 317

1 随机变量及其分布函数 317

内容精讲 317

例题分析 318

2 离散型随机变量和连续型随机变量 319

内容精讲 319

例题分析 320

3 常用分布 321

内容精讲 321

例题分析 324

4 随机变量函数的分布 327

内容精讲 327

例题分析 328

第三章 多维随机变量及其分布 330

考点与要求 330

1 二维随机变量及其分布 330

内容精讲 330

例题分析 332

2 随机变量的独立性 337

内容精讲 337

例题分析 338

3 二维均匀分布和二维正态分布 346

内容精讲 346

例题分析 347

4 两个随机变量函数Z＝g（X，Y）的分布 349

内容精讲 349

例题分析 350

第四章 随机变量的数字特征 355

考点与要求 355

1 随机变量的数学期望和方差 355

内容精讲 355

例题分析 357

2 矩、协方差和相关系数 364

内容精讲 364

例题分析 365

3 切比雪夫不等式 373

内容精讲 373

例题分析 373

第五章 大数定律和中心极限定理 374

考点与要求 374

内容精讲 374

例题分析 375

第六章 数理统计的基本概念 377

考点与要求 377

1 总体、样本、统计量和样本数字特征 377

内容精讲 377

例题分析 378

2 常用统计抽样分布和正态总体的抽样分布 380

内容精讲 380

例题分析 382

第七章 参数估计 387

考点与要求 387

1 点估计 387

内容精讲 387

例题分析 387

2 估计量求法 392

内容精讲 392

例题分析 393