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第1章 复变函数与解析函数 1

1.1 复数 2

1.1.1 复数的概念 2

1.1.2 复数的表示法 2

1.1.3 复数的运算 4

1.1.4 复球面 7

1.2 复变函数 8

1.2.1 区域 8

1.2.2 复变函数的概念 10

1.2.3 复变函数的极限及连续性 11

1.3 解析函数 13

1.3.1 导数与微分 13

1.3.2 解析函数 15

1.3.3 初等函数 18

1.4 保角映射 22

1.4.1 保角映射的概念 22

1.4.2 几种简单的保角映射 24

数学家简介——欧拉 27

习题一 29

第2章 复变函数的积分 31

2.1 复变函数的积分 32

2.1.1 复积分的概念 32

2.1.2 复积分的性质 33

2.1.3 复积分的计算 33

2.2 柯西积分定理 37

2.2.1 柯西基本定理 37

2.2.2 复合闭路定理 40

2.3 柯西积分公式 42

2.3.1 柯西积分公式 42

2.3.2 解析函数的高阶导数 45

2.3.3 解析函数与调和函数 48

数学家简介——柯西 51

习题二 52

第3章 级数与留数 54

3.1 幂级数及其展开 54

3.1.1 幂级数 54

3.1.2 泰勒级数 60

3.2 洛朗级数及其展开式 62

3.2.1 双边幂级数 62

3.2.2 洛朗级数 63

3.3 留数 65

3.3.1 孤立奇点 65

3.3.2 留数的概念及留数定理 68

3.3.3 留数的计算 69

3.4 留数的应用 71

3.4.1 计∫2π0f（cosθ，sinθ）dθ型积分 71

3.4.2 计算∫+∞-∞P（x）/Q（x）dx型积分 72

3.4.3 计算∫+∞-∞f（x）eiλrdx型积分 73

数学家简介——泰勒 76

习题三 77

第4章 傅里叶变换 79

4.1 傅里叶变换 79

4.1.1 傅里叶级数的复指数形式 79

4.1.2 傅里叶变换 81

4.2 傅里叶变换的性质 87

4.2.1 傅里叶变换的性质 87

4.2.2 卷积 88

4.3 离散傅里叶变换及其性质 91

4.3.1 离散傅里叶变换的定义 91

4.3.2 离散傅里叶变换的基本性质 92

4.4 傅里叶变换的应用 94

4.4.1 解积分、微分方程问题 94

4.4.2 求解偏微分方程问题 95

4.4.3 电路系统求解问题 96

数学家简介——傅里叶 97

习题四 98

第5章 拉普拉斯变换与z变换 100

5.1 拉普拉斯变换的概念 101

5.1.1 问题的提出 101

5.1.2 拉普拉斯变换的定义 101

5.1.3 拉普拉斯变换的存在定理 102

5.2 拉普拉斯变换的性质 103

5.2.1 基本性质 103

5.2.2 卷积 106

5.2.3 极限性质 108

5.3 拉普拉斯逆变换 109

5.4 拉普拉斯变换的应用 110

5.5 z变换 113

5.5.1 z变换的定义 114

5.5.2 z变换的逆变换 115

5.5.3 z变换的性质和应用 117

5.5.4 z变换与拉普拉斯变换的关系 117

5.6 小波变换简介 118

5.6.1 傅里叶变换的局限 119

5.6.2 窗口傅里叶变换 119

5.6.3 小波变换 120

5.6.4 小波变换的性质 122

数学家简介——拉普拉斯 124

习题五 125

附录 习题答案 128