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第一部分 刚性常微分方程数值分析 3

第一章 引论 3

1.1 常微分方程 3

1.1.1 常微分方程组初值问题 3

1.1.2 解的存在性、唯一性和稳定性 6

1.1.3 线性常微分方程组及矩阵预解式 11

1.1.4 常系数线性系统及渐近稳定性 13

1.1.5 线性差分方程 16

1.2 刚性微分方程 22

1.2.1 刚性微分方程的实际背景 22

1.2.2 线性刚性问题的数学定义 22

1.2.3 非线性刚性问题的数学定义 25

1.2.4 刚性问题举例 27

第二章 数值方法经典理论 32

2.1 一般多步方法 32

2.2 相容性和零稳定性 34

2.2.1 相容性和相容条件 34

2.2.2 零稳定性与根条件 37

2.3 收敛性 41

2.3.1 收敛准则及整体误差估计 41

2.3.2 收敛性与相容性的关系 44

2.4 线性稳定性 47

2.4.1 线性方法 47

2.4.2 方法的稳定多项式和稳定域 50

2.4.3 线性稳定性的适用范围 53

2.4.4 各种常用稳定性定义 59

2.5 稳定程度 60

2.5.1 方法的稳定程度和（δ，p）-稳定域 61

2.5.2 差分方程解的若干表示 63

2.5.3 稳定程度与稳定域的关系 67

2.5.4 （δ，p）-稳定域的稳定程度 69

2.5.5 用（δ，p）-稳定域逼近方法的稳定域 70

2.5.6 稳定程度大于零的条件 72

2.5.7 稳定程度趋于零的含参多步方法 74

2.6 一般多值方法 80

2.6.1 一般多值方法及其不同表示 80

2.6.2 一般线性方法 82

2.6.3 一些基本概念 85

2.6.4 零稳定的各种等价条件 86

2.6.5 一般多值方法的收敛准则 89

2.6.6 预相容及相容条件 90

2.6.7 拟相容性及其与收敛性的关系 93

2.6.8 一般线性方法的线性稳定性 98

2.7 整体误差的渐近展式 99

2.7.1 单步方法整体误差渐近展式 99

2.7.2 伴随方法及对称方法 102

2.7.3 仅含有偶次幂的整体误差渐近展式 107

2.7.4 一般多值方法整体误差渐近展式 108

2.7.5 一般多步方法整体误差渐近展式 115

2.8 泛函微分方程的（A,B,D）-方法 120

2.8.1 （A,B,D）-方法 120

2.8.2 相容性和零稳定性 127

2.8.3 收敛准则 134

2.8.4 应用举例 138

第三章 线性稳定性分析 142

3.1 线性多步法及有关方法 142

3.1.1 线性多步法稳定性分析 142

3.1.2 向后微分公式 159

3.1.3 向后微分公式的改进 162

3.1.4 广义向后微分公式 164

3.1.5 Enright方法 166

3.2 Runge-Kutta法 168

3.2.1 Runge-Kutta法概述 168

3.2.2 Runge-Kutta法的阶条件 172

3.2.3 Runge-Kutta法稳定性分析 187

3.2.4 基于高阶数值积分公式的隐式Runge-Kutta法 201

3.2.5 单隐Runge-Kutta法及Butcher变换 214

3.3 刚性微分方程的收缩方法 226

3.3.1 一般多步方法的收缩性 227

3.3.2 A-收缩和A（α）-收缩的二阶导数方法 233

3.3.3 A-收缩和A（α）-收缩的混合方法 238

3.4 并行算法 245

3.4.1 并行多步Runge-Kutta预校算法 245

3.4.2 并行Adams预校算法 255

3.4.3 刚性问题的并行多步混合方法 259

第四章 非线性稳定性分析 265

4.1 Hilbert空间中的试验问题 265

4.1.1 问题类Kσ，T 266

4.1.2 试验问题的基本性质 267

4.2 单支方法和线性多步法的稳定准则 270

4.2.1 G-稳定性及G（c,p,q）-代数稳定性 270

4.2.2 G（c,p,q）-代数稳定准则 271

4.2.3 单支方法与线性多步法的关系 272

4.2.4 线性多步法的稳定准则及与单支方法比较 274

4.2.5 稳定准则的应用 276

4.3 Runge-Kutta法的稳定准则 280

4.3.1 代数稳定性及（θ，p，q）-代数稳定性 280

4.3.2 （θ，p，q）-代数稳定准则 282

4.3.3 积分型Runge-Kutta法的代数稳定性 286

4.4 一般线性方法的非线性稳定性 288

4.4.1 （k,p,q）-稳定性 291

4.4.2 （k,p,q）-弱代数稳定准则 297

4.4.3 弱代数稳定准则的应用 304

4.5 多步Runge-Kutta法的代数稳定性 311

4.5.1 多步Runge-Kutta法 311

4.5.2 代数稳定的必要充分条件 313

4.5.3 简化条件的若干性质 315

4.5.4 简化条件与代数稳定性 317

4.5.5 高阶代数稳定的多步Runge-Kutta法及其分类 321

4.5.6 Ⅰ至Ⅵ类代数稳定方法的构造 324

4.6 Banach空间中的试验问题 330

4.6.1 问题类K（μ，λ＊）及K（μ，λ＊，δ） 330

4.6.2 试验问题的基本性质 331

4.6.3 试验问题类的子类K1、K2λ＊和K3μ 333

4.6.4 Hilbert空间情形下试验问题的性质 334

4.6.5 试验微分方程条件估计 337

4.7 对数矩阵范数 339

4.7.1 对数矩阵范数及其基本性质 339

4.7.2 最小单边Lipschitz常数 341

4.7.3 基于对数矩阵范数的微分方程条件估计 342

4.8 一类多步方法的非线性稳定性 344

4.8.1 系数依赖于步长的多步方法 344

4.8.2 方法关于K（μ，λ＊）类问题的稳定性 345

4.8.3 方法关于K（μ，λ＊，δ）类问题的稳定性 347

4.8.4 若干推论 349

4.9 显式及对角隐式Runge-Kutta法的非线性稳定性 352

4.9.1 Bl-稳定性及其准则 353

4.9.2 主要结果的证明 357

4.9.3 Bl-稳定方法举例 360

4.10 多步多导数方法的非线性稳定性 366

4.10.1 问题类K？及其性质 366

4.10.2 多步多导数法的稳定性准则 372

4.10.3 应用举例 375

第五章 B-收敛理论 378

5.1 一般线性方法的B-理论基础 378

5.1.1 B-收敛概念 379

5.1.2 B-相容性和B-稳定性 382

5.1.3 BS-稳定性和BSI-稳定性 386

5.1.4 级阶和广义级阶 387

5.1.5 B-相容和BH-相容的条件 387

5.1.6 B-稳定和弱B-稳定的条件 390

5.1.7 B-收敛准则 392

5.1.8 B-稳定的其他代数条件 398

5.2 单支方法和线性多步法的B-收敛性 404

5.2.1 A-稳定等价于B-稳定 404

5.2.2 A-稳定单支方法的最佳B-收敛阶 407

5.2.3 A-稳定线性多步法的最佳B-收敛阶 409

5.2.4 线性多步法起始值计算的技巧 415

5.3 数值方法的可行性 417

5.3.1 一类算子方程解的存在及唯一性 417

5.3.2 多级多值多导数方法的可行性 423

5.3.3 多步多导数方法的可行性 428

5.3.4 一般线性方法的可行性 429

5.4 B-收敛的多步Runge-Kutta法 432

5.4.1 多步Runge-Kutta法的级阶和广义级阶 432

5.4.2 多步Runge-Kutta法的对角稳定性 436

5.4.3 多步Runge-Kutta法的B-收敛阶 438

5.4.4 Ⅰ至Ⅵ类代数稳定多步Runge-Kutta法的B-收敛性 439

5.4.5 B-收敛多步Runge-Kutta法举例 440

5.5 B-理论的进一步推广 447

5.5.1 正规问题类和示性矢量 448

5.5.2 B-收敛概念一般化 457

5.5.3 B-相容性和B-稳定性的推广 459

5.5.4 B-收敛准则的推广 462

5.5.5 线性刚性问题数值解的B-收敛阶 466

5.5.6 高阶B-收敛的多步多导数法 470

参考文献 480

第二部分 刚性泛函微分方程数值分析 497

第六章 刚性泛函微分方程稳定性理论及其数值方法的B-理论6.1 刚性Volterra泛函微分方程稳定性理论 497

6.1.1 引言 497

6.1.2 稳定性与广义收缩性 500

6.1.3 严格收缩性与渐近稳定性 508

6.2 VFDE-Runge-Kutta法的B-理论 512

6.2.1 引言 512

6.2.2 VFDE-RK方法的B-稳定性 517

6.2.3 VFDE-RK方法的B-相容性与B-收敛性 526

6.2.4 VFDE-RK方法的收缩性与渐近稳定性 531

6.2.5 用于非线性刚性延迟微分方程 540

6.2.6 用于非线性刚性延迟积分微分方程 544

6.3 VFDE一般线性方法的B-理论 549

6.3.1 引言 549

6.3.2 VFDE-GL方法的B-稳定性 551

6.3.3 VFDE-GL方法的B-相容性与B-收敛性 559

6.4 数值试验 566

参考文献 576