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历史介绍 1

第一章 算术基本定理 11

1.1引言 11

1.2整除性 12

1.3最大公约数 12

1.4素数 14

1.5算术基本定理 15

1.6素数倒数的级数 16

1.7欧几里得算法 17

1.8两个以上的数的最大公约数 18

第一章习题 18

第二章 数论函数与迪利克雷乘积 21

2.1引言 21

2.2麦比乌斯函数μ（n） 21

2.3欧拉函数？（n） 22

2.4？与μ的相互关系 23

2.5？（n）的一个乘积公式 24

2.6数论函数的迪利克雷乘积 25

2.7迪利克雷逆函数与麦比乌斯反转公式 27

2.8Mangoldt函数A（n） 28

2.9积性函数 29

2.10积性函数与迪利克雷乘积 30

2.11完全积性函数的逆函数 32

2.12柳维尔函数λ（n） 33

2.13除数函数σα（n） 33

2.14广义卷积 35

2.15形式幂级数 36

2.16数论函数的Bell级数 37

2.17Bell级数与迪利克雷乘积 38

2.18数论函数的导数 39

2.19塞尔伯格等式 40

第二章习题 40

第三章 数论函数的平均值 46

3.1引言 46

3.2大0符号，函数的渐近等式 47

3.3欧拉求和公式 48

3.4几个基本渐近公式 49

3.5d（n）的平均阶 50

3.6除数函数σα（n）的平均阶 53

3.7？（n）的平均阶 54

3.8对于由原点可见的格点分布的应用 55

3.9μ（n）与Λ（n）的平均阶 57

3.10迪利克雷乘积的部分和 57

3.11对μ（n）与Λ（n）的应用 58

3.12迪利克雷乘积的部分和的另一个等式 61

第三章习题 62

第四章素数分布的几个基本定理 66

4.1引言 66

4.2切比雪夫函数ψ(x）与g（x） 67

4.3联系g(x）与π（x）的关系式 68

4.4素数定理的几个等价形式 71

4.5π（n）与Pn的一些不等式 73

4.6Shapiro Tauberian定理 76

4.7Shapiro定理的应用 78

4.8部分和Σp≤x（1/P）的一个渐近公式 80

4.9麦比乌斯函数的部分和 81

4.10素数定理初等证明的简短概要 87

4.11塞尔伯格渐近公式 88

第四章习题 89

第五章 同余 95

5.1同余的定义与基本性质 95

5.2剩余类与完全剩余系 98

5.3一次同余式 99

5.4简化剩余系与欧拉-费马定理 101

5.5模P的多项式同余式，拉格朗日定理 102

5.6拉格朗日定理的应用 103

5.7一次同余式组，中国剩余定理 104

5.8中国剩余定理的应用 105

5.9模是素数方幂的多项式同余式 107

5.10交叉分类原理 109

5.11简化剩余系的分解性 111

第五章习题 113

第六章 有限Abel群及其特征 115

6.1定义 115

6.2群和子群的例子 116

6.3群的基本性质 116

6.4子群的结构 117

6.5有限Abel群的特征 119

6.6特征群 121

6.7特征的正交关系式 121

6.8迪利克雷特征 123

6.9含有迪利克雷特征的和 125

6.10对于实的非主特征X，L（1，X）不等于零 127

第六章习题 129

第七章 算术级数里素数的迪利克雷定理 131

7.1引言 131

7.2形如4n-1和4n＋1的素数的迪利克雷定理 132

7.3迪利克雷定理的证明方案 133

7.4引理7.4的证明 135

7.5引理7.5的证明 135

7.6引理7.6的证明 137

7.7引理7.8的证明 137

7.8引理7.7的证明 137

7.9算术级数里素数的分布 139

第七章习题 140

第八章 周期数论函数与高斯和 141

8.1模k的周期函数 141

8.2周期数论函数的有限傅立叶级数的存在性 142

8.3拉马努然和及其推广 144

8.4和Sk（n）的乘法性质 146

8.5与迪利克雷特征相伴的高斯和 148

8.6具有非零高斯和的迪利克雷特征 150

8.7诱导模与本原特征 151

8.8诱导模的进一步的性质 152

8.9特征的前导子 154

8.10本原特征与可分的高斯和 154

8.11迪利克雷特征的有限傅立叶级数 155

8.12本原特征部分和波利亚不等式 156

第八章习题 158

第九章 二次剩余与二次互反律 161

9.1二次剩余 161

9.2勒让德符号及其性质 162

9.3（-1/P）与（2/P）的值 164

9.4高斯引理 165

9.5二次互反律 168

9.6互反律的应用 170

9.7雅可比符号 172

9.8对丢番图方程的应用 175

9.9高斯和与二次互反律 176

9.10二次高斯和的互反律 179

9.11二次互反律的另一个证明 185

第九章习题 185

第十章 原根 188

10.1数的次数mod m，原根 188

10.2原根与简化剩余系 189

10.3对α≥3，模2α的原根不存在 190

10.4对奇素数P，模P的原根存在 190

10.5原根与二次剩余 192

10.6模Pα的原根存在 192

10.7模2Pα的原根存在 194

10.8其他情况下原根不存在 194

10.9模m的原根的个数 195

10.10指数的计算 197

10.11原根与迪利克雷特征 200

10.12模Pα的实值迪利克雷特征 202

10.13模Pα的本原迪利克雷特征 203

第十章习题 205

第十一章 迪利克雷级数与欧拉乘积 207

11.1引言 207

11.2迪利克雷级数绝对收敛的半平面 208

11.3由迪利克雷级数定义的函数 209

11.4迪利克雷级数的乘积 211

11.5欧拉乘积 213

11.6迪利克雷级数收敛的半平面 215

11.7迪利克雷级数的解析性质 217

11.8具有非负系数的迪利克雷级数 219

11.9迪利克雷级数表示为迪利克雷级数的指数 220

11.10迪利克雷级数的平均值公式 222

11.11迪利克雷级数系数的一个积分公式 224

11.12迪利克雷级数部分和的一个积分公式 225

第十一章习题 229

第十二章 函数ζ（S）和L（s，X） 232

12.1引言 232

12.2 Gamma 函数的性质 233

12.3胡尔维茨zeta函数的积分表示 234

12.4胡尔维茨zeta函数的围道积分表示 236

12.5胡尔维茨zeta函数的解析开拓 237

12.6ζ（s）与L（s，X）的解析开拓 238

12.7ζ（s，a）的胡尔维茨公式 239

12.8黎曼zeta函数的函数方程 242

12.9胡尔维茨zeta函数的函数方程 243

12.10L-函数的函数方程 244

12.11求ζ（-n，a）的值 246

12.12伯努利数与伯努利多项式的性质 248

12.13L（0，X）的公式 250

12.14用有限和逼近ζ（s，a） 251

12.15︳ζ（s，a）︳的不等式 253

12.16︳ζ（s）︳与︳L（s，X）︳的不等式 255

第十二章习题 256

第十三章 素数定理的解析证明 261

13.1证明的方案 261

13.2引理 263

13.3ψ1（x）/x2的围道积分表示 266

13.4直线σ＝1附近︳ζ（s）︳与︳ζ'（s）︳的上界 268

13.5在直线σ＝1上ζ（s）不为零 269

13.6|1/ζ（s)|与|ζ'（s）/ζ（s）|的不等式 271

13.7素数定理证明的完成 272

13.8ζ（s）的无零点区域 275

13.9黎曼假设 277

13.10对除数函数的应用 277

13.11对欧拉函数的应用 280

13.12特征和的波利亚不等式的推广 283

第十三章习题 284

第十四章 分拆 288

14.1引言 288

14.2分拆的几何表示 291

14.3分拆的生成函数 291

14.4欧拉五边形数定理 294

14.5欧拉五边形数定理的组合证明 297

14.6p（n）的欧拉递推公式 298

14.7p（n）的上界 299

14.8雅可比三重积等式 301

14.9雅可比等式的推论 303

14.10生成函数的对数微分 304

14.11拉马努然的分拆等式 306

第十四章习题 307

附录“哥德巴赫猜想”研究综览 311

特殊符号索引 318

编辑手记 320