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第一章 函数与极限 1

第一节 映射与函数 1

一 映射 1

二 函数概念 2

三 函数的四则运算 6

四 复合函数 6

五 反函数 7

六 初等函数 10

习题1-1 10

第二节 数列的极限 11

一 邻域 11

二 数列的基本概念 12

三 数列极限的定义 13

四 收敛数列的性质 18

习题1-2 23

第三节 函数的极限 24

一 x趋于x0时函数的极限 24

二 x趋于∞时函数的极限 30

三 无穷大量 34

四 函数极限的性质 35

五 函数极限与数列极限的关系 39

习题1-3 40

第四节 函数的连续性 42

一 函数连续性概念 42

二 连续函数的运算性质 44

三 初等函数的连续性 46

四 间断点及其分类 46

五 闭区间上连续函数的性质 48

六 一致连续性 50

习题1-4 52

第五节 极限存在的准则及两个重要极限 53

一 极限存在的准则 53

二 两个重要极限 56

三 双曲函数 61

习题1-5 62

第六节 无穷小量及其比较 63

一 无穷小量 63

二 无穷小量的比较 64

习题1-6 67

复习题一 68

第二章 导数与微分 71

第一节 导数概念 71

一 导数的定义 71

二 导数的几何意义 76

三 可导与连续的关系 77

习题2 1 77

第二节 求导法则及高阶导数 78

一 函数的和、差、积、商的导数 78

二 反函数的求导法则 81

三 复合函数的求导法则 82

四 高阶导数 85

习题2-2 87

第三节 隐函数和参变量函数的导数 88

一 隐函数的导数 88

二 对数求导法 90

三 参变量函数的导数 91

四 相关变化率问题 93

习题2-3 94

第四节 微分 94

一 微分的概念 94

二 微分的运算法则 96

三 微分在近似计算中的应用 97

习题2-4 98

复习题二 99

第三章 微分中值定理与导数应用 101

第一节 微分中值定理 101

一 罗尔定理 101

二 拉格朗日中值定理 103

三 柯西中值定理 106

习题3-1 107

第二节 洛必达法则 108

一 0/0型不定式的极限 108

二 ∞/∞型不定式的极限 110

三 其他类型不定式的极限 111

习题3-2 114

第三节 泰勒公式 114

一 带有佩亚诺型余项的泰勒公式 114

二 带有拉格朗日型余项的泰勒公式 120

习题3-3 122

第四节 函数的单调性与极值 123

一 函数的单调性 123

二 函数的极值 125

三 函数的最大值和最小值 128

习题3-4 129

第五节 函数图像的描绘 131

一 曲线的凹凸性和拐点 131

二 曲线的渐近线 136

三 函数图像的描绘 138

习题3-5 140

第六节 导数在经济分析中的应用 141

一 几个常用的经济函数 141

二 边际分析 142

三 弹性分析 144

习题3-6 147

复习题三 148

第四章 不定积分 150

第一节 不定积分概念 150

一 原函数与不定积分概念 150

二 基本积分公式 152

习题4-1 154

第二节 换元积分法与分部积分法 155

一 第一换元法 156

二 第二换元法 161

三 分部积分法 165

习题4-2 169

第三节 有理函数的积分 170

一 多项式根的概念及相关结论 170

二 有理函数的不定积分 172

三 可化为有理函数的积分举例 177

习题4-3 180

复习题四 181

第五章 定积分及其应用 184

第一节 定积分的概念与性质 184

一 实例 184

二 定积分的概念 186

三 定积分的性质 190

四 定积分的几何意义 194

习题5-1 195

第二节 牛顿-莱布尼茨公式与微积分学基本定理 197

一 牛顿-莱布尼茨公式 197

二 原函数存在定理 199

习题5-2 201

第三节 定积分的换元法与分部积分法 203

一 换元积分法 203

二 分部积分法 206

习题5-3 209

第四节 平面曲线的弧长与曲率 211

一 平面曲线的弧长 211

二 平面曲线的极坐标方程 214

三 平面曲线的曲率 218

习题5-4 222

第五节 定积分的几何应用 223

一 微元法 223

二 平面图形的面积 226

三 平行截面面积为已知的立体体积 229

四 旋转曲面的面积 232

五 连续函数的平均值 234

习题5-5 235

第六节 定积分在物理学与经济学中的应用举例 236

一 变力作功问题应用举例 236

二 引力问题应用举例 238

三 液体侧压力问题举例 239

四 经济学中的应用举例 239

习题5-6 240

第七节 反常积分与Γ函数 241

一 无限区间上的反常积分 242

二 无界函数的反常积分 246

三 Γ函数 248

习题5-7 250

复习题五 251

第六章 微分方程 256

第一节 微分方程的基本概念 256

习题6-1 259

第二节 一阶微分方程 259

一 可分离变量方程 259

二 齐次方程 262

三 一阶线性微分方程 265

四 伯努利方程 268

习题6-2 269

第三节 可降阶的高阶方程 270

一 y（n）＝f（x）型微分方程 270

二 y″＝f（x，y′）型微分方程 271

三 y″＝f（y，y′）型微分方程 274

习题6-3 276

第四节 线性微分方程解的结构 277

一 线性齐次微分方程解的结构 277

二 线性非齐次微分方程解的结构 280

习题6-4 281

第五节 常系数线性微分方程 281

一 复值函数与复指数函数简介 281

二 常系数线性齐次微分方程 283

三 常系数线性非齐次微分方程 286

四 欧拉方程 293

五 线性微分方程在振动分析中的应用 294

习题6-5 300

第六节 差分方程 301

一 差分和差分方程的概念 301

二 一阶常系数线性差分方程 304

习题6-6 309

复习题六 309

附录Ⅰ 几种常用的平面曲线简介 312

附录Ⅱ 常用的积分公式 315

习题答案与提示 316

参考文献 335