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第一章 群和群表示 1

1.1群的定义和有限群的几个性质 1

1.1.1群的定义 1

1.1.2有限群的基本性质 2

1.2子群和商群 4

1.2.1子群的定义 4

1.2.2陪集的定义和有关的定理 4

1.2.3内积与共轭子群 5

1.2.4不变子群（自轭子群或正则子群） 6

1.2.5商群 7

1.3同构群与同态群，核 9

1.3.1同构群 9

1.3.2同态群 9

1.3.3核 9

1.4群的矩阵表示与有关的定理 10

1.4.1群G的矩阵表示的定义 10

1.4.2幺正矩阵群 10

1.4.3可约表示，完全可约表示和不可约表示 10

1.4.4等价的群表示 11

1.5有关不可约表示的几个定理 13

1.6不可约表示的特征标 22

1.6.1特征标的定义 22

1.6.2特征标的性质 22

1.6.3类的和以及有关的性质 24

1.6.4可约表示的简约 25

1.7规则表示 26

1.7.1定义 26

1.7.2规则表示的特性 28

1.8直接乘积 31

1.8.1群的直接乘积的定义 31

1.8.2矩阵的直接乘积 33

1.8.3矩阵的直接乘积可做为群直接乘积的表示 34

1.8.4直接乘积的表示的特征标是各表示特征标的乘积 34

1.9几种常见的群 34

1.9.1阿贝尔群 35

1.9.2循环群 35

1.9.3排列群 36

1.9.4对称性群 36

1.10晶体中对称操作的数学描述 37

1.10.1主动型描述和被动型描述 37

1.10.2矩阵A的并矢表示 39

1.11晶体中的基本对称操作 42

1.12 32个点群 45

1.12.1生群元 45

1.12.2 32个点群的符号 45

1.12.3 32个点群 46

1.13 32个点群的特征标 63

第一章习题 73

参考文献 74

第二章 群表示与薛定谔方程 75

2.1函数与算符的对称变换 75

2.1.1函数的变换 75

2.1.2算符的变换 77

2.2哈密顿算符的变换性质 78

2.2.1哈密顿算符的对称变换 78

2.2.2使哈密顿算符不变的操作 78

2.2.3两种常见的哈密顿算符所属的群 79

2.3群表示与函数空间的基矢 80

2.3.1用以产生群表示的基矢 80

2.3.2函数空间或矢量空间 84

2.3.3可约函数空间与不可约函数空间 84

2.4不可约表示基矢的性质 92

2.4.1幺正算符和幺正矩阵 92

2.4.2不可约表示Dj（R）的第λ列基矢所满足的充要条件 93

2.4.3准投影算符〓jλ 94

2.4.4属于第j个不可约表示的基矢fj 95

2.4.5投影算符〓j 95

2.4.6定理 96

2.5薛定谔方程的解与哈密顿量的群 100

2.5.1定理 100

2.5.2正常简并和偶然简并 102

2.5.3系一 102

2.6矩阵元的计算 104

2.7简并态的微扰理论 106

2.8轴转动群和完全转动群 109

2.8.1轴转动群 109

2.8.2完全转动群 111

2.9完全转动群的不可约表示按点群的简约 113

2.9.1 D l按D3群的简约 113

2.9.2 D l按点群Oh的简约 114

2.9.3 D l按Td群的简约 117

2.9.4 D l按照D4h群的简约 117

2.10杂化轨道的组合 117

2.11分子轨道（MO）理论 123

2.12分子振动的简正模式与简正坐标 128

2.12.1原子振动的描述 128

2.12.2群论在求解简正坐标与振动方式中的应用 131

2.13振动谱的选择定则 144

2.13.1红外活性和无红外活性 145

2.13.2拉曼跃迁 146

2.14振动波函数的对称性 148

2.14.1组频能态波函数的对称性 149

2.14.2倍频能级波函数的对称性 150

2.14.3一般振动态的对称性 154

2.14.4非简谐项的影响 156

2.15原子振动-电子相互作用，杨-特勒（Jahn-Teller）效应 156

2.15.1电子-原子振动相互作用对电子跃迁的影响 156

2.15.2杨-特勒（Jahn-Teller）效应 157

第二章习题 158

参考文献 160

第三章 完全转动群的不可约表示和角动量 161

3.1用欧拉角描述转动的完全转动群的不可约表示 161

3.2二维幺正群 164

3.2.1二维幺正幺模矩阵 164

3.2.2二维幺正幺模矩阵和坐标变换的关系 165

3.2.3 R（u）与R（α,β，γ）的关系 167

3.2.4与转动操作对应的二维幺正幺模矩阵组成群 169

3.3由二维幺正群导出的完全转动群的不可约表示 169

3.4无穷小转动算符和角动量算符 174

3.4.1绕x轴作角度为dθ的无穷小转动的算符及其不可约表示 174

3.4.2绕y轴作角度为dθ的无穷小转动的算符PRy及其不可约表示 176

3.4.3绕z轴作角度为dθ的无穷小转动的算符PRz及其不可约表示 178

3.4.4转动算符的一般表示式 179

3.5角动量耦合与矢量耦合系数 180

3.5.1耦合表象与非耦合表象 181

3.5.2 Ajj1jm2 mm1 m2的计算 181

3.5.3 Dj1〓Dj2在耦合表象中的简约 188

3.6 矢量耦合系数的性质 189

3.6.1 j,m为某些特殊值的矢量耦合系数 189

3.6.2 Ajj1mj2 mm1 m2的矩阵表示和正交关系 189

3.6.3矢量耦合系数的对称性质 192

3.7 Clebsch-Gordan系列 193

3.7.1 Clebsch-Gordan系列的定义 193

3.7.2逆Clebsch-Gordan系列 194

3.7.3球谐函数的某些性质 195

3.8张量算符 198

3.8.1矢量算符 198

3.8.2二级张量算符 199

3.8.3其他的高级张量算符 201

3.8.4不可约张量算符 201

3.8.5不可约张量算符的乘积 203

3.9不可约张量算符矩阵元的简约，Wigner-Eckart定理 205

3.10三个角动量的耦合，Racah系数 209

3.10.1 Racah系数的定义和推导 209

3.10.2 Racah系数的性质 212

3.10.3 Racah系数应用举例——矩阵元〈j′m′j1′j2′|TL（1）TL（2）|jmj1j2〉的简约 213

3.11自旋角动量 217

3.12计入自旋转动耦合的哈密顿算符所属的群 219

3.13双点群的性质与特征标表 224

3.13.1双点群的性质 224

3.13.2双点群的不可约表示的特征标表 227

3.14时间反演对称算符 234

3.14.1时间反演对称和时间反演算符 235

3.14.2计入自旋后的时间反演算符的性质 237

3.14.3 Kramers定理 240

3.14.4对非简并的态，磁矩的平均值为零 240

3.15计入时间反演后电子系能级的简并度 241

3.15.1复表示的定义与性质 241

3.15.2当j为整数时，完全转动群的不可约表示Dj （R）是实表示 244

3.15.3时间反演附加简并 246

第三章习题 251

参考文献 251

第四章 群论在有关原子结构问题中的应用 252

4.1顺磁晶体中的晶体场 252

4.2晶体微扰势矩阵元的计算 256

4.3多电子体系的薛定谔方程 264

4.4 Russel-Saunder耦合能量的计算 269

4.4.1根据角动量简化久期方程 270

4.4.2 Slater求和定则 272

4.4.3 计入静电相互作用后能级的分裂 274

4.4.4计入自旋-轨道耦合后能级的分裂 283

4.5在外加磁场下能级的分裂 291

4.6超精细结构 295

4.6.1磁偶极矩相互作用 295

4.6.2有外加磁场的情况 299

4.6.3电-四极矩相互作用 300

第四章习题 302

参考文献 303

第五章 空间群表示 304

5.1描述转动及平移算符的性质 304

5.2空间群 306

5.3布喇菲格子 308

5.4纯平移群的不可约表示 311

5.5群的分导表示，Frobenius定理 313

5.5.1分导表示的定义 313

5.5.2 Frobenius第一定理 314

5.5.3 Frobenius第二定理 315

5.6群的诱导表示 316

5.6.1定义 316

5.6.2诱导表示△Ij的矩阵元 316

5.7诱导表示的特征标，Frobenius互易原理 321

5.7.1诱导表示的特征标 321

5.7.2 Frobenius互易原理 322

5.8诱导表示的不可约性 324

5.9正则子群的共轭表示 326

5.9.1共轭表示的定义 326

5.9.2轨道，波矢星 326

5.9.3共轭表示基矢之间的关系 332

5.9.4正则子群与共轭表示的关系 333

5.10第二类小群 333

5.10.1定义 333

5.10.2空间群的第二类小群——波矢群Gk 335

5.10.3同构共轭子群 335

5.10.4可允许表示 337

5.11简单空间群的不可约表示的诱导 341

5.12简单空间群不可约表示与晶体能带结构 350

5.13自由电子近似计算立方晶体的能带结构 353

5.13.1薛定谔方程及其解 353

5.13.2能量E（k）k所属的不可约表示及有关的基矢 354

5.14非简单空间群不可约表示的诱导 357

5.14.1表示的核 357

5.14.2不变子群 358

5.14.3表示的产生 359

5.14.4用LII（△）/K可产生LII（△）的可允许表示 359

5.14.5求非简单空间群不可约表示的步骤 360

5.15金刚石型晶体（空间群O7h）波矢群的不可约表示的特征标 362

5.16空间群不可约表示直接乘积的简约 366

5.17晶体晶格振动的正则模式 374

5.17.1运动方程及其解 374

5.17.2本征矢的变换性质 377

5.17.3本征矢的计算 381

5.17.4金刚石的正则振动模式 385

5.18晶体红外吸收与拉曼散射的选择定则 387

5.18.1振动波函数|n〉的对称性 387

5.18.2偶极矩算符的对称性和红外吸收选择定则 389

5.18.3极化率算符的对称性与拉曼跃迁选择定则 394

第五章习题 395

参考文献 397

附录 398