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第1章 线性空间与线性变换 1

1.1线性空间 1

1.1.1线性空间的概念及基本性质 1

1.1.2基、维数与坐标 3

1.1.3基变换与坐标变换 5

1.2线性子空间 8

1.2.1子空间的概念 8

1.2.2子空间的维数与基 8

1.2.3子空间的交与和 9

1.2.4子空间的直和与补子空间 10

1.3线性变换及其矩阵 12

1.3.1线性变换的概念 12

1.3.2线性变换的运算 14

1.3.3线性变换的矩阵表示 16

1.4与线性变换有关的子空间 19

1.4.1线性变换的值域与核 19

1.4.2线性变换的不变子空间 20

1.4.3特征值与特征向量 22

1.4.4最小多项式 27

1.5欧几里得空间与酉空间 29

1.5.1欧几里得空间的定义与性质 30

1.5.2标准正交基 34

1.5.3正交变换与正交矩阵 35

1.5.4对称变换与对称矩阵 39

1.5.5酉空间介绍 40

习题1 42

第2章 矩阵的变换与分解 48

2.1酉变换与酉矩阵 48

2.1.1酉等价 48

2.1.2 Givens变换与Householder变换 49

2.2 Jordan标准形与谱分解 57

2.2.1 Jordan标准形 57

2.2.2谱分解 66

2.3 Schur分解与正规矩阵 68

2.3.1 Schur分解 68

2.3.2正规矩阵 70

2.4 Gauss变换与三角分解 73

2.4.1 Gauss变换 73

2.4.2 Gauss消元与三角分解 74

2.4.3常用的直接三角分解法 80

2.5 QR分解 85

2.5.1 QR分解的概念 85

2.5.2 QR分解的实际求法 87

2.5.3基于QR分解的参数估计问题 92

2.5.4矩阵与Hessenberg矩阵的正交相似问题 93

2.6最大秩分解 97

2.7奇异值分解 98

习题2 101

第3章 矩阵范数及其应用 104

3.1向量范数 104

3.2矩阵范数 112

3.2.1矩阵范数的定义与性质 112

3.2.2算子范数 114

3.3谱范数的性质和谱半径 120

3.4矩阵的逆和线性方程组解的误差——范数的应用 122

3.4.1矩阵的非奇异性条件 122

3.4.2逆矩阵的扰动 124

3.4.3误差分析与病态方程组 125

习题3 129

第4章 矩阵分析 132

4.1向量序列与矩阵级数 132

4.1.1向量序列的极限 132

4.1.2矩阵级数 135

4.2矩阵函数 145

4.2.1矩阵函数的定义与性质 145

4.2.2矩阵函数值的求法 149

4.3矩阵的微积分 156

4.3.1函数矩阵对实变量的导数 156

4.3.2函数矩阵对实变量的积分 160

4.3.3矩阵特殊的导数 160

4.3.4矩阵的全微分 165

4.4矩阵函数的一些应用 166

4.4.1一阶常系数齐次线性微分方程组的解 166

4.4.2一阶常系数非齐次线性微分方程组的解 171

习题4 173

第5章 特征值的估计及对称矩阵的极性 177

5.1可约矩阵与对角占优矩阵 177

5.2特征值的估计 179

5.2.1特征值的界 179

5.2.2特征值的包含范围与谱半径的估计 187

5.2.3扰动理论中的特征值估计 199

5.3对称矩阵特征值的极性 202

5.3.1实对称矩阵的Rayleigh商的极性 202

5.3.2矩阵奇异值的极小极大性质 207

习题5 209

第6章 几类特殊矩阵 213

6.1非负矩阵 213

6.1.1 Perron-Frobenius定理 213

6.1.2非负矩阵谱半径的界 222

6.1.3本原矩阵与循环矩阵 224

6.2随机矩阵与双随机矩阵 225

6.3 M矩阵与Stieltjes矩阵 228

6.3.1 M矩阵 228

6.3.2 Stieltjes矩阵 232

6.4广义对角占优矩阵 233

6.5 Toeplitz矩阵与Hankel矩阵 236

习题6 242

第7章 矩阵的广义逆与直积及其应用 245

7.1矩阵的几种广义逆 245

7.1.1广义逆矩阵的基本概念 245

7.1.2减号逆 246

7.1.3自反减号逆A-r 249

7.1.4极小范数广义逆A-m 252

7.1.5最小二乘广义逆A-1 254

7.1.6加号逆A+ 255

7.2广义逆与线性方程组的解 260

7.2.1相容方程组的通解与减号逆A- 261

7.2.2相容方程组的极小范数解与广义逆A-m 262

7.2.3矛盾方程组的最小二乘解与A-1 264

7.2.4矛盾方程组的极小范数最小二乘解与A+ 266

7.3矩阵的直积及其应用 267

7.3.1直积的概念 268

7.3.2直积的性质 269

7.3.3线性矩阵方程的可解性 274

习题7 276

习题答案与提示 280

参考文献 306