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第一讲　Schur分解的计算 1

1．1　标准Schur分解的计算 1

1．1．1　Householder变换和Givens变换 1

1．1．2　Schur分解定理 5

1．1．3　实Schur分解 7

1．1．4　QR方法 8

1．1．5　实Schur标准形之对角块的排序问题 26

1．2　广义Schur分解的计算 28

1．2．1　广义Schur分解定理 28

1．2．2　广义实Schur分解 29

1．2．3　QZ方法 31

1．2．4　广义实Schur标准形之对角块的排序问题 40

1．3　周期Schur分解的计算 42

1．3．1　周期Schur分解定理 42

1．3．2　周期实Schur分解 44

1．3．3　周期QZ方法 46

1．3．4　周期实Schur标准形之对角块的排序问题 58

习题 61

第二讲　多项式之根的快速求法 64

2．1　引言 64

2．1．1　基本问题 64

2．1．2　基本理论 65

2．2　Newton-Horner方法 67

2．2．1　Newton迭代法简介 67

2．2．2　Newton-Horner方法 70

2．3　快速QR方法 73

2．3．1　友矩阵 74

2．3．2　Hn类矩阵和它的参数化 75

2．3．3　单步位移的快速QR迭代 82

2．3．4　双重步位移的隐式快速QR迭代 90

2．3．5　具体实现时的几个问题 96

习题 98

第三讲　奇异值分解的计算 100

3．1　基本概念和性质 100

3．2　Golub-Kahan SVD算法 105

3．2．1　对称QR方法概要 106

3．2．2　Golub-Kahan SVD算法 109

3．3　分而治之法 116

3．3．1　求解对称特征值问题的分而治之法 117

3．3．2　计算奇异值分解的分而治之法 127

3．4　Jacobi方法 134

3．4．1　求解对称特征值问题的Jacobi方法 135

3．4．2　计算奇异值分解的Jacobi方法 141

3．5　二分法 147

3．5．1　求解对称特征值问题的二分法 147

3．5．2　计算奇异值的二分法 152

习题 153

第四讲　Krylov子空间方法Ⅰ 155

4．1　引言 155

4．2　Krylov子空间 157

4．2．1　Krylov子空间及其性质 157

4．2．2　Arnoldi分解 160

4．2．3　Lanczos分解 165

4．3　Rayleigh-Ritz方法 166

4．3．1　Rayleigh-Ritz投影方法 166

4．3．2　Rayleigh商的最佳逼近性 167

4．4　Arnoldi方法 170

4．4．1　经典Arnoldi算法 170

4．4．2　隐式重启Arnoldi算法 172

4．4．3　位移求逆技术 180

4．5　Lanczos方法 181

4．5．1　经典Lanczos算法 181

4．5．2　收敛性理论 182

4．5．3　重启Lanczos算法 192

习题 197

第五讲　Krylov子空间方法Ⅱ 200

5．1　引言 200

5．2　共轭梯度法 201

5．2．1　基本迭代格式 201

5．2．2　收敛性分析 207

5．3　极小剩余法 210

5．3．1　MINRES算法 211

5．3．2　收敛性分析 216

5．4　广义极小剩余法 217

5．4．1　GMRES算法 217

5．4．2　收敛性分析 221

5．5　拟极小剩余法 228

5．5．1　非对称Lanczos方法 229

5．5．2　QMR算法 233

5．6　投影类方法 236

5．6．1　BCG方法 237

5．6．2　CGS方法 240

5．6．3　BICGSTAB方法 243

习题 247

第六讲　共轭梯度法 248

6．1　引言 248

6．2　最优步长的计算 251

6．3　最速下降法 254

6．3．1　经典最速下降法 254

6．3．2　收缩最速下降法 255

6．3．3　梯度型同时迭代法 257

6．3．4　预优最速下降法 259

6．4　共轭梯度法 263

6．4．1　共轭梯度法 263

6．4．2　收缩共轭梯度法 266

6．4．3　共轭梯度型同时迭代法 267

6．4．4　预优共轭梯度法 268

6．5　预优梯度型子空间迭代法 269

6．5．1　PGS迭代法 269

6．5．2　收敛性分析 271

习题 292

符号和定义 294

参考文献 300