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第1章 有限元方法的简单回顾 1

1.1变分问题 1

1.2 Galerkin逼近 5

1.2.1 Galerkin逼近 5

1.2.2误差分析 8

思考题 12

第2章 椭圆边值问题的变分问题 13

2.1抽象的变分问题 13

2.2 Lax-Milgram定理 19

2.2.1对称情形 19

2.2.2非对称情形 20

2.3若干例子 23

2.3.1 Green公式 24

2.3.2若干例子 25

思考题 39

第3章Sobolev空间概要 41

3.1 Lp（Ω）空间 41

3.2广义导数（微商） 46

3.3磨光算子、均值逼近与单位分解 48

3.3.1磨光算子 48

3.3.2均值逼近定理 51

3.3.3 单位分解 55

3.4 Sobolev空间 58

3.5 Sobolev空间嵌入定理 61

3.6等价范数 63

3.7 商空间 66

思考题 68

第4章 有限元离散化 69

4.1有限元离散化 69

4.2二维情形 73

4.2.1三角形单元 74

4.2.2矩形单元 84

4.3有限元方法的计算流程 87

4.4预处理共轭梯度法 93

思考题 97

第5章 协调有限元的误差分析 99

5.1引言 99

5.2 Sobolev空间中的分片多项式插值 101

5.2.1仿射等价元之间范数的关系 101

5.2.2单元插值误差估计 105

5.3多边形区域上二阶问题的误差分析 107

5.3.1先验误差估计 107

5.3.2 L2-模与负模估计 108

5.3.3非光滑解的收敛性 111

5.4逆不等式 112

5.4.1单元上的逆不等式 112

5.4.2逆不等式 113

5.4.3 Hs（Ω）模估计 116

5.4.4最大模估计 117

5.5非光滑函数的插值 118

5.5.1有限元空间 118

5.5.2 Clement插值 119

5.6 Nitsche权模方法 122

5.6.1权模定义与权函数关系式 123

5.6.2加权插值逼近定理 125

5.6.3最大模估计 127

5.7抛物型方程有限元解的误差估计 139

5.7.1半离散化解的L2-模与梯度估计 140

5.7.2 全离散化解的误差估计 145

思考题 150

第6章 数值积分的影响 152

6.1有限元方法中的数值积分 152

6.1.1三角形单元上的一次精度求积公式 154

6.1.2三角形单元上的二次精度求积公式 155

6.1.3三角形单元上的三次精度求积公式 156

6.1.4三角形单元上带导数的三次精度求积公式 157

6.1.5 矩形单元上的数值积分 158

6.2数值积分下的抽象误差估计 158

6.3相容误差估计 163

思考题 171

第7章 非协调有限元 172

7.1抽象的误差估计 172

7.2二阶问题的非协调元 175

7.2.1 Crouzeix-Raviart三角形元（C-R元） 175

7.2.2 Wilson矩形元 178

7.3四阶问题的非协调元 181

思考题 187

第8章 混合有限元方法 188

8.1混合变分问题之例 188

8.2抽象的连续混合变分问题 191

8.2.1混合变分问题 191

8.2.2 推广Lax-Milgram定理 194

8.2.3 LBB条件 195

8.3离散化逼近 197

8.4两个应用实例 200

8.4.1 Poisson方程边值问题的混合有限元方法 200

8.4.2 Stokes问题的混合有限元方法 202

思考题 206

参考文献 208

索引 210