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基础篇 1

第一章 行列式 1

复习导学 1

1.行列式的概念 1

【基本题型1】按定义计算行列式 2

【基本题型2】按对角线法则计算二、三阶行列式 2

2.行列式的性质 2

【基本题型3】按行列式的性质计算行列式 2

3.行列式按行（或列）展开定理 4

【基本题型4】有关余子式、代数余子式及其重要结论的题目 4

【基本题型5】按照性质和按行展开定理计算较低阶的行列式 6

【基本题型6】有关用行列式表示的多项式f（x）性质的题目 7

4.常用的特殊行列式 8

【基本题型7】一般的n阶行列式的计算 9

第二章 矩阵 17

复习导学 17

1.矩阵的概念 17

2.矩阵相等 17

3.矩阵运算 17

4.矩阵运算的性质 18

5.转置矩阵 18

【基本题型1】矩阵的基本运算 18

6.特殊矩阵及其性质 19

【基本题型2】有关特殊矩阵的运算 20

7.方阵 20

【基本题型3】有关方阵的性质 20

【基本题型4】矩阵运算规律与数运算规律的区别 20

8.伴随矩阵 21

9.逆矩阵 21

【基本题型5】利用伴随矩阵法求较低阶矩阵的逆 21

【基本题型6】判定或证明抽象矩阵可逆并求逆 22

【基本题型7】求抽象矩阵的逆 23

【基本题型8】有关伴随矩阵的命题 23

10.分块矩阵 25

【基本题型9】分块矩阵的计算 25

【基本题型10】分块矩阵的运用 27

11.初等变换 28

12.初等矩阵 29

13.初等矩阵的应用 30

【基本题型11】将矩阵写成初等矩阵乘积形式 30

【基本题型12】利用初等变换法求矩阵的逆 31

14.矩阵的秩 32

【基本题型13】按定义求矩阵的秩 32

15.矩阵秩的基本结论 32

【基本题型14】利用秩的基本结论解题 32

16.用初等变化法求矩阵A的秩 33

【基本题型15】用初等变换法求矩阵的秩 33

第三章 向量 36

复习导学 36

1.n维向量的概念 36

2.n维向量的线性运算 36

3.向量、向量组与矩阵 36

【基本题型1】向量的线性运算 37

4.一个向量与一个向量组之间的线性表示 37

【基本题型2】利用构成矩阵的秩来判定一个向量能否由另一向量组线性表示 38

5.向量组的线性相关与线性无关 39

【基本题型3】有关抽象向量组的线性相关性的证明 39

【基本题型4】有关分量具体的向量组的线性相关性的判定 39

6.线性相关性的重要性质及定理 40

【基本题型5】有关线性相关性的概念和重要定理的题目 40

7.两个向量组的线性表示及其等价 43

8.两个向量组线性相关性的性质定理 43

【基本题型6】有关两个向量组之间的线性表示及其相关性的判定 43

9.向量组的极大无关组 44

10.向量组的秩 45

11.两个向量组秩之间的关系 45

12.向量组的秩和矩阵的秩的关系 45

13.用初等变换法求向量组的秩和极大无关组 45

【基本题型7】求一个向量组的极大无关组并表示其余向量 45

【基本题型8】有关等价的向量组的证明 46

【基本题型9】求向量组的秩 47

【基本题型10】有关抽象向量组或矩阵秩的不等式的证明 47

【基本题型11】关于抽象向量组和矩阵秩的等式的证明 48

14.向量的内积、长度、夹角 51

15.Schmidt正交化、单位化 51

16.正交矩阵 52

17.向量空间的定义、基与维数 52

【基本题型12】求解空间的一组标准正交基 52

【基本题型13】有关向量空间的维数 53

18.向量在基下的坐标 53

【基本题型14】求向量在基下的坐标 53

19.两个向量组之间的过渡矩阵 54

【基本题型15】求两组基之间的过渡矩阵 54

第四章 线性方程组 56

复习导学 56

1. m个方程n个未知量的线性方程组的一般形式 56

2.齐次线性方程组的基础解系 56

【基本题型1】有关基础解系的概念 56

3.线性方程组解的性质和结构 57

【基本题型2】有关方程组解的性质和结构 57

4.线性方程组解的判定 60

【基本题型3】有关解的判定定理 60

5.线性方程组求解的初等变换法 62

【基本题型4】求（非）齐次方程组的基础解系和通解 62

6.线性方程组求解的克莱姆法则 63

【基本题型5】按照克莱姆法则求方程组的解 64

7.线性方程组的求解和讨论 66

【基本题型6】含参数方程组解的讨论 66

【基本题型7】求齐次线性方程组的基础解系、通解 68

【基本题型8】求非齐次方程组的通解 69

【基本题型9】已知齐次方程组的解，反求系数矩阵 70

第五章 特征值与相似对角化 72

复习导学 72

1.特征值和特征向量的定义 72

【基本题型1】有关特征值和特征向量定义的题目 72

2.特征值和特征向量的计算步骤 72

【基本题型2】求具体矩阵的特征值和特征向量 73

3.特征值和特征向量的性质 73

【基本题型3】有关特征值和特征向量性质的题目 74

【基本题型4】求抽象矩阵的特征值和特征向量 75

4.相似矩阵的概念 77

5.相似矩阵的性质 77

【基本题型5】有关相似矩阵性质的题目 77

6.矩阵可以对角化的条件 78

【基本题型6】有关两方阵相似的判定 79

7.矩阵对角化的方法 79

【基本题型7】有关矩阵可对角化的判定 80

【基本题型8】已知矩阵的特征值和特征向量，反求矩阵 82

8. n阶实对称矩阵A的主要结论 83

【基本题型9】有关实对称矩阵的性质 83

9.用正交相似变换化实对称矩阵A为对角矩阵的方法步骤 85

【基本题型10】求正交矩阵Q，将实对称矩阵化为对角阵 85

【基本题型11】有关特征值、特征向量的性质及其应用 87

第六章 二次型 90

复习导学 90

1.二次型的概念 90

【基本题型1】写出二次型的矩阵 90

【基本题型2】已知二次型的秩，反求其参数 91

2.线性变换 92

3.矩阵的合同 92

【基本题型3】判断两个矩阵是否合同 92

4.二次型的标准形 93

【基本题型4】二次型的最大值问题 93

5.进一步的结论 94

【基本题型5】已知二次型线性变换前后的形式，反求其中的参数 94

6.化二次型为标准形的配方法 94

【基本题型6】用配方法化二次型化为标准形或规范形 95

7.化二次型为标准形的正交变换法 96

【基本题型7】求正交变换，将二次型化为标准形或规范形 96

8.正定二次型和正定矩阵 99

【基本题型8】判定二次型或矩阵的正定性 99

提高篇 103

第七章 行列式 103

考点归纳 103

考点解读 103

命题趋势 103

难点剖析 103

1.n阶行列式的计算 103

2.抽象型行列式的计算 105

3.证明行列式|A|=0的方法 105

4.分块矩阵的行列式 105

点击考点+方法归纳 105

有关行列式计算的题目 105

【考点1】元素具体的含文字的低阶行列式的计算 105

【考点2】含在矩阵方程中的方阵的行列式的计算 107

【考点3】抽象矩阵的行列式求值 108

【考点4】高阶行列式的计算 112

有关行列式的证明题 114

【考点5】抽象行列式等于零或不等于零的判定或证明 114

【考点6】分块矩阵的行列式 116

第八章 矩阵 117

考点归纳 117

考点解读 117

命题趋势 117

难点剖析 117

1.两个矩阵可乘的条件 117

2.矩阵乘法不满足交换律和消去律 117

3.解矩阵方程 117

4.与初等变换有关的命题 118

5.与伴随矩阵有关的命题 118

6.矩阵秩的计算与证明 118

7.分块矩阵的运算 119

点击考点+方法归纳 120

有关逆矩阵的题目 120

【考点1】隐含矩阵可逆，求逆矩阵 120

【考点2】判定或证明矩阵可逆 121

有关矩阵的乘法运算 123

【考点3】可交换矩阵的运算 123

【考点4】求方阵的幂An 124

【考点5】解矩阵方程 126

有关矩阵的初等变换和初等矩阵的命题 131

【考点6】求初等变换中的变换矩阵 131

【考点7】求由初等变换得到的矩阵的有关性质 131

与伴随矩阵、转置矩阵等有关的命题 133

【考点8】利用伴随矩阵万能公式求其逆、行列式等 133

有关矩阵的秩 136

【考点9】求元素具体但含参数的矩阵的秩或其反问题 136

【考点10】求抽象矩阵的秩 138

【考点11】矩阵秩的证明 140

【考点12】有关秩为1的矩阵 142

第九章 向量 144

考点归纳 144

考点解读 144

命题趋势 144

难点剖析 144

1.关于向量组的线性相关有如下等价命题 144

2.关于向量组的线性无关有如下等价命题 144

3.与向量组个数和维数有关的线性相关性结论 145

4.关于线性表示的有关结论 145

5.关于向量组的秩的有关结论 145

6.关于向量组的基或其他 145

点击考点+方法归纳 146

有关向量组的计算题型 146

【考点1】已知向量组间的线性表示关系，确定其中的参数 146

【考点2】已知向量组的线性相关性，确定其中的参数，并求一个极大无关组 151

【考点3】求向量在基下的坐标 153

【考点4】求两组基之间的过渡矩阵 154

【考点5】求解空间的一组标准正交基 155

有关向量组的证明题型 155

【考点6】判定或证明抽象向量组的线性表示 155

【考点7】抽象向量组的线性相关性的证明 157

【考点8】抽象的向量组的秩的证明 158

有关向量的客观题型 159

【考点9】有关向量组的线性相关性的判定 159

【考点10】与矩阵有关的向量组的相关性的判定 162

【考点11】与线性表示有关的线性相关性的判定 164

【考点12】已知数字向量组线性相关，确定其中的参数 166

第十章 线性方程组 167

考点归纳 167

考点解读 167

命题趋势 167

难点剖析 167

1. n元线性方程组的三种等价的表达形式 167

2.线性方程组解的性质 168

3. m个方程n个未知量的齐线性方程组解的判定 168

4. m个方程n个未知量的非齐线性方程组解的判定 168

5.对含参数的线性方程组，一般有以下两种题型 168

6.对抽象方程组的求解 168

7.寻找或证明向量组是某方程组的基础解系的3个关键点 169

8.两个线性方程组解（都是齐次方程组或都是非齐次方程组）之间的关系 169

9.求方程组（Ⅰ）Am×nX=α和方程组（Ⅱ）Bt×nX=β的公共解的一般方法 169

点击考点+方法归纳 169

有关抽象方程组的求解 169

【考点1】抽象方程组的求解 169

有关含参数的方程组的讨论或求解 174

【考点2】讨论齐次方程组中的参数，使得方程组只有零解或有非零解，并在有非零解时，求其通解 174

【考点3】讨论非齐次方程组中的参数，使得方程组无解或有解，并在有解时求其通解 182

【考点4】已知方程组的解的情况，反求其中的参数并求解 185

有关两个方程组解之间的关系 187

【考点5】有关两方程组（Ⅰ）Am×nX=α和（Ⅱ）Bt×nX=β的公共解问题 187

【考点6】已知两方程组同解，反求其中的参数 190

【考点7】判断两个抽象的矩阵方程解之间的关系 193

有关基础解系的命题 194

【考点8】已知一组向量已是基础解系，证明或判断其线性组合构成的另一组向量也是基础解系 194

【考点9】已知非齐次方程组解的情况，寻求对应齐次方程组的基础解系 195

有关AB=0的命题 196

【考点10】已知AB=0，确定A或B中的参数 196

【考点11】已知AB=0，确定矩阵A或B的秩 198

【考点12】已知AB=0，确定A或B的行列式值是否为零 199

【考点13】已知AB=0，确定A或B的行向量组或列向量组的相关性 200

第十一章 特征值与矩阵的相似对角化 202

考点归纳 202

考点解读 202

命题趋势 202

难点剖析 202

1.求矩阵A的特征值和特征向量的一般方法 202

2.有关的重要结论 202

3.求与A相关矩阵的特征值和特征向量 203

4.两矩阵相似的必要条件 203

5.证明或判断矩阵相似及其逆问题 203

6.可对角化的判定及其逆问题 203

7.实对称矩阵的主要性质 204

点击考点+方法归纳 204

有关特征值和特征向量的计算 204

【考点1】求具体矩阵的特征值和特征向量 204

【考点2】求抽象矩阵的特征值 208

【考点3】求抽象矩阵的特征向量 209

与特征值、特征向量有关的逆的问题 210

【考点4】已知矩阵的特征值、特征向量，反求其中的参数 210

【考点5】已知矩阵的特征值、特征向量，反求矩阵 211

有关两矩阵的相似问题 212

【考点6】两具体的矩阵相似，确定其中的参数 212

【考点7】已知抽象矩阵和一个向量组之间的关系，求其相似对角矩阵等 213

有关矩阵的对角化的题目 216

【考点8】确定参数的值，使得有关矩阵可对角化，并求相应的可逆矩阵和对角矩阵 216

【考点9】确定参数的值后，讨论矩阵是否可对角化 219

有关实对称矩阵的题目 220

【考点10】已知实对称矩阵的全部特征值和部分特征向量，反求矩阵A 220

【考点11】求正交矩阵，化实对称矩阵A为对角矩阵 223

【考点12】特征值、特征向量的性质及其应用 229

【考点13】有关两矩阵相似的必要条件 231

有关特征值、特征向量和相似矩阵的证明 232

【考点14】两相关矩阵的特征值与特征向量间的关系 232

【考点15】矩阵相似性的证明 232

第十二章 二次型 234

考点归纳 234

考点解读 234

命题趋势 234

难点剖析 234

1.化二次型为标准形的定理 234

2.求二次型的标准形的方法 234

3.关于二次型的唯一性 234

4.关于二次型的惯性指数和秩 235

5.二次型的规范形 235

6.合同变换与合同矩阵 235

7.合同矩阵与相似矩阵 235

8.正定二次型及其对应矩阵的正定性 235

点击考点+方法归纳 236

有关二次型的标准化问题 236

【考点1】先确定二次型中的参数，再求正交变换或正交变换矩阵，最后将含参数的二次型化为标准形 236

【考点2】求正交变换矩阵 239

有关二次型对应矩阵的命题 244

【考点3】求含参数的二次型所对应矩阵的特征值 244

【考点4】求抽象的二次型所对应的矩阵 245

有关二次型或矩阵的正定 247

【考点5】判别或证明二次型的正定 247

【考点6】证明矩阵的正定 248

【考点7】有关正定的综合题 251

合同变换与合同矩阵 252

【考点8】合同变换与合同矩阵 252

第十三章 线性代数与几何的关系 254

考点归纳 254

考点解读 254

命题趋势 254

难点剖析 254

1.线、面间的位置关系和方程组的转化 254

2.常见的二次曲面的标准方程及其图形 255

3.常见的二次曲面的秩 255

点击考点+方法归纳 255

【考点1】直线或平面间的位置关系与向量组的相关性或矩阵的秩的相互转化 255

【考点2】二次型的标准形表示何种曲面 260

【考点3】利用二次曲面的图形确定二次型的秩、正负特征值个数或正负惯性指数 262

应试篇 264

线性代数复习点睛 264

1.符号多，下标多 264

2.概念之多，联系之紧密，关系之隐蔽，非线性代数莫属 264

3.计算简单，但计算量大，且运算法则与数的常规运算有不一样的地方，因而容易出错 264

4.具有较强的数学特征，即对于抽象性和逻辑性要求较高 265

2011年研究生入学考试真题及答案 265

1.研究生入学线性代数考生对象 265

2.研究生入学线性代数考题类型 265

3. 2011年研究生入学线性代数试题及部分答案 265

2011年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及部分答案 265

2011年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及部分答案 268

2011年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题及部分答案 271

三套自我检查题及答案 275

自我检查试题一 275

自我检查试题二 277

自我检查试题三 278

自我检查试题一部分答案 280

自我检查试题二部分答案 280

自我检查试题三部分答案 281

参考文献 283