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第1章 绪论 1

1.1 研究目的和方法 1

1.2 研究综述 2

1.3 问题的提出 12

参考文献 13

第2章 高斯内蕴微分几何学的渊源 15

2.1 高斯以前的微分几何学 16

2.2 高斯内蕴微分几何学的起源 18

2.3 小结 26

参考文献 27

第3章 高斯的非欧几何学研究 29

3.1 背景 29

3.2 高斯以前的非欧几何学研究 30

3.3 高斯的非欧几何学研究 34

3.4 高斯的非欧几何学研究之核心问题 41

3.5 非欧几何学的历史疑问 43

参考文献 45

第4章 高斯内蕴微分几何学的创立 47

4.1 哥本哈根获奖论文及其对内蕴微分几何学的贡献 47

4.2 内蕴微分几何学的重大发现 53

4.3 关于“绝妙定理”的证明 56

4.4 高斯的手稿——未完成的论文（1825年） 58

4.5 提交给皇家学会的报告和《关于曲面的一般研究》的发表 61

参考文献 63

第5章 高斯内蕴微分几何学的基本思想——《关于曲面的一般研究》之研究 65

5.1 曲面论的预备知识（第1～3节） 66

5.2 曲面的参数表示（第4～5节） 68

5.3 高斯映射与高斯曲率和全曲率（第6节） 70

5.4 高斯方程与高斯的“绝妙定理”（第7～12节） 72

5.5 内蕴微分几何学的计划（第13节） 75

5.6 测地线与高斯引理（第14～16节） 77

5.7 角度的变分与列维－奇维塔平行移动（第17～18节） 79

5.8 高斯－博内定理（第19～20节） 81

5.9 角度比较定理与面积比较定理（第21～29节） 85

5.10 小结 90

参考文献 91

第6章 高斯的内蕴几何学思想及其意义 93

6.1 直线与测地线 93

6.2 平行公设的否定与弯曲空间概念的产生 95

6.3 第一基本形式与弯曲空间的度量 97

6.4 曲面的内蕴度量与曲面在空间的形状 99

参考文献 102

第7章 高斯非欧几何学思想的实现途径与高斯的内蕴微分几何学 105

7.1 高斯的内蕴微分几何学思想与黎曼的几何学构想 106

7.2 常数（绝对长度单位）高斯曲率曲面与非欧几何学的实现 108

7.3 量地与测天——高斯非欧几何学的验证 112

7.4 高斯非欧几何学研究的核心问题之解决 115

参考文献 117

第8章 高斯－博内定理的历史发展及其意义 119

8.1 经典的高斯－博内定理与冯·迪克的贡献 119

8.2 高斯－博内定理在高维的推广与证明——从霍普夫到陈省身 121

8.3 高斯－博内定理与现代数学的关联一瞥 124

参考文献 126

附录1 高斯论保形表示——将给定凸曲面投影到另一给定曲面而使最小部分保持相似的一般方法（哥本哈根，1822年） 129

附录2 关于曲面的一般研究 141

结束语 181

致谢 183