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第1章 线性空间与线性变换 1

1.1 线性空间的基本概念 1

1.1.1 数域 1

1.1.2 线性空间的定义与性质 2

1.2 基、坐标与维数 4

1.2.1 向量组的线性相关性 4

1.2.2 线性空间的基与维数 5

1.2.3 基变换与坐标变换 8

1.3 线性子空间 13

1.3.1 子空间的概念 13

1.3.2 子空间的交与和 15

1.3.3 子空间的直和 19

1.4 线性变换&. 21

1.4.1 线性变换的定义 21

1.4.2 线性变换的性质 23

1.4.3 线性变换的运算 24

1.5 线性变换的矩阵 24

1.5.1 线性变换在给定基下的矩阵 24

1.5.2 线性变换在不同基下的矩阵 29

1.6 线性变换的值域、核及不变子空间 29

1.6.1 值域与核的定义 29

1.6.2 值域与核的相关理论 30

1.6.3 不变子空间 34

1.7 线性空间的同构 34

1.7.1 同构映射的定义 34

1.7.2 同构映射的性质 35

1.7.3 同构的充要条件 36

1.8 线性变换的应用 36

1.8.1 在数字信号处理中的若干应用 36

1.8.2 关于矩阵的秩的一些结论 37

习题一 39

第2章 内积空间与等距变换 43

2.1 内积空间的基本概念 43

2.1.1 内积空间的定义 43

2.1.2 向量的长度与夹角 45

2.2 标准正交基与Schmidt正交化 46

2.2.1 标准正交基 46

2.2.2 Schmidt正交化方法 48

2.3 正交子空间 50

2.4 等距变换 52

2.5 应用：小波分析中的正交基 55

习题二 57

第3章 矩阵的Jordan标准形 60

3.1 特征值与特征向量 60

3.1.1 特征值与特征向量 60

3.1.2 矩阵的迹与行列式 62

3.1.3 特征子空间 63

3.2 矩阵的可对角化 64

3.2.1 相似矩阵 64

3.2.2 矩阵可对角化的充要条件 64

3.2.3 正规矩阵 67

3.3 矩阵的Jordan标准形及其应用 70

3.3.1 Jordan矩阵 71

3.3.2 Jordan标准形的存在定理 72

3.3.3 Jordan标准形的求法 73

3.3.4 矩阵Jordan标准形的应用 77

3.4 Hamilton-Cayley定理及矩阵的最小多项式 78

3.4.1 Hamilton-Cayley定理 78

3.4.2 最小多项式 80

3.5 矩阵特征值的估计及Hermite矩阵特征值的性质 83

3.5.1 矩阵特征值的圆盘定理 83

3.5.2 Hermite矩阵特征值的性质 87

习题三 88

第4章 矩阵分解 91

4.1 矩阵的三角分解 91

4.1.1 Gauss消去法的矩阵表述 91

4.1.2 矩阵的三角分解 94

4.1.3 分块矩阵的三角分解 96

4.2 矩阵的满秩分解 97

4.2.1 矩阵的满秩分解 97

4.2.2 关于行满秩或列满秩矩阵的性质 99

4.2.3 长方矩阵的左、右逆 100

4.3 矩阵的QR分解 101

4.3.1 矩阵的QR分解 101

4.3.2 用初等旋转矩阵求矩阵的QR分解 104

4.3.3 用初等反射矩阵求矩阵的QR分解 107

4.4 矩阵的奇异值分解 109

4.5 可对角化矩阵的谱分解 114

4.6 奇异值分解在现代谱分析中的应用 118

习题四 121

第5章 矩阵分析 123

5.1 向量范数及其性质 123

5.1.1 向量范数 123

5.1.2 向量范数的连续性与等价性 126

5.2 矩阵范数 128

5.2.1 矩阵范数的定义与性质 128

5.2.2 几种常用的矩阵范数 131

5.2.3 范数的应用 135

5.3 矩阵序列与矩阵级数 136

5.3.1 向量序列与矩阵序列 136

5.3.2 矩阵级数 140

5.4 矩阵函数及其应用 142

5.4.1 矩阵函数的定义 143

5.4.2 矩阵函数的计算 145

5.4.3 函数矩阵的微分与积分 151

5.5 矩阵函数的应用 157

5.5.1 一阶线性常系数齐次微分方程组的解 157

5.5.2 一阶线性常系数非齐次微分方程组的解 159

习题五 160

第6章 矩阵的广义逆 163

6.1 广义逆矩阵的基本概念 163

6.1.1 广义逆矩阵的定义 163

6.1.2 义逆矩阵的分类 164

6.2 ｛1｝逆 165

6.2.1 ｛1｝逆的定义与性质 165

6.2.2 ｛1｝逆的计算 166

6.3 Moore-Penrose 逆A+ 168

6.3.1 A+的性质 168

6.3.2 A+的计算 169

6.4 A+在解线性方程组中的应用 171

6.4.1 线性方程组的求解问题 171

6.4.2 相容方程组的求解问题 172

6.4.3 矛盾方程组的求解问题 173

习题六 175

习题参考答案 177

参考文献 187