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第1章 行列式 1

1.1 行列式的定义 1

1.1.1 二阶、三阶行列式 1

1.1.2 数码的排列 3

1.1.3 n阶行列式的定义 5

历史寻根：行列式 8

习题1.1 8

1.2 行列式的性质 8

习题1.2 14

1.3 行列式的展开定理 14

1.3.1 余子式和代数余子式 14

1.3.2 行列式按行（列）展开定理 15

1.3.3 拉普拉斯（Laplace）展开定理 18

背景聚焦：解析几何中的行列式 20

习题1.3 21

1.4 行列式的计算 22

1.4.1 利用行列式的定义 22

1.4.2 化为上（下）三角形行列式 23

1.4.3 利用行列式展开定理 23

方法索引：数学归纳法 24

1.4.4 数学归纳法 24

历史寻根：范德蒙 25

1.4.5 递推法 26

1.4.6 升阶法（加边法） 26

1.4.7 利用已知行列式 27

1.4.8 综合例题 28

习题1.4 30

1.5 克莱姆（Cramer）法则 30

历史寻根：克莱姆 34

习题1.5 34

总习题一 35

第2章 矩阵 39

2.1 矩阵的定义与运算 39

2.1.1 矩阵的概念 39

历史寻根：矩阵 41

2.1.2 矩阵的加法 41

2.1.3 数乘矩阵 42

2.1.4 矩阵与矩阵的乘法 43

2.1.5 方阵的幂运算 46

2.1.6 矩阵的转置 47

2.1.7 共轭矩阵 48

背景聚焦：天气的马尔可夫（Markov）链 48

习题2.1 49

2.2 几种特殊的矩阵 50

2.2.1 对角矩阵、数量矩阵和单位矩阵 50

2.2.2 上（下）三角形矩阵 51

2.2.3 对称矩阵和反对称矩阵 51

2.2.4 基本单位矩阵 53

习题2.2 53

2.3 可逆矩阵 54

2.3.1 方阵的行列式 54

2.3.2 方阵的逆 56

2.3.3 矩阵方程 59

背景聚焦：矩阵密码法 60

习题2.3 61

2.4 矩阵的分块 62

2.4.1 矩阵的分块及运算 62

2.4.2 可逆分块矩阵 67

习题2.4 69

2.5 矩阵的初等变换与初等矩阵 69

2.5.1 矩阵的初等变换 70

2.5.2 初等矩阵 71

2.5.3 初等矩阵与初等变换 73

2.5.4 用初等变换的方法求逆矩阵 74

习题2.5 76

2.6 矩阵的秩 77

2.6.1 子式 77

2.6.2 矩阵的秩 78

2.6.3 初等变换求矩阵的秩 78

2.6.4 几个常见的结论 81

历史寻根：凯莱 82

习题2.6 83

总习题二 83

第3章 向量与线性方程组 87

3.1 线性方程组解的存在性 87

3.1.1 高斯（Gauss）消元法 87

3.1.2 线性方程组解的存在性 89

历史寻根：线性方程组 94

习题3.1 95

3.2 向量组的线性相关性 96

3.2.1 n维向量的概念 96

3.2.2 线性表示与线性组合 98

3.2.3 线性相关与线性无关 99

3.2.4 线性相关性的几个定理 100

历史寻根：向量 102

习题3.2 103

3.3 向量组的秩 103

3.3.1 向量组的等价 104

3.3.2 极大线性无关组与向量组的秩 105

3.3.3 向量组的秩与矩阵的秩的关系 107

习题3.3 110

3.4 向量空间 111

3.4.1 向量空间的概念 111

3.4.2 基、维数与坐标 112

3.4.3 子空间及其维数 114

习题3.4 116

3.5 线性方程组解的结构 116

3.5.1 齐次线性方程组解的结构 116

3.5.2 非齐次线性方程组解的结构 120

习题3.5 124

总习题三 125

第4章 矩阵相似对角化 129

4.1 欧氏空间Rn 129

4.1.1 内积的概念 129

4.1.2 标准正交基 131

4.1.3 正交矩阵及其性质 135

习题4.1 136

4.2 方阵的特征值和特征向量 137

4.2.1 特征值和特征向量的基本概念 137

方法索引：求实系数多项式的实根 138

4.2.2 特征值的性质 139

背景聚焦：特征值与Buckey球的稳定性 142

4.2.3 特征向量的性质 142

历史寻根：特征值和特征向量 144

习题4.2 145

4.3 矩阵相似对角化条件 145

4.3.1 相似矩阵 145

4.3.2 矩阵可对角化条件 147

4.3.3 矩阵相似对角化的应用 149

背景聚焦：工业增长模型 151

习题4.3 152

4.4 实对称矩阵的相似对角化 153

4.4.1 实对称矩阵的特征值和特征向量 153

4.4.2 实对称矩阵相似对角化 153

背景聚焦：面貌空间 157

习题4.4 157

4.5 Jordan标准形介绍 158

4.5.1 Jordan矩阵 158

4.5.2 Jordan标准形定理 159

4.5.3 Jordan标准形的求法 160

历史寻根：矩阵论 165

总习题四 166

第5章 二次型 169

5.1 二次型及其矩阵表示 169

5.1.1 基本概念 169

5.1.2 线性替换 171

5.1.3 矩阵的合同 172

历史寻根：二次型 172

习题5.1 173

5.2 化二次型为标准形 173

5.2.1 正交替换法 174

5.2.2 配方法 176

5.2.3 初等变换法 178

习题5.2 180

5.3 化二次型为规范形 181

5.3.1 实二次型的规范形 181

5.3.2 复二次型的规范形 183

习题5.3 184

5.4 正定二次型和正定矩阵 184

5.4.1 基本概念 185

5.4.2 正定二次型的判定 185

5.4.3 正定矩阵的性质 191

5.4.4 其他有定二次型 192

习题5.4 193

总习题五 194

第6章 线性空间与线性变换 197

6.1 线性空间的概念 197

6.1.1 线性空间的定义与例子 197

6.1.2 线性空间的简单性质 199

6.1.3 子空间 200

6.1.4 实内积空间 201

习题6.1 203

6.2 线性空间的基、维数和坐标 204

6.2.1 基与维数 205

6.2.2 坐标 206

6.2.3 基变换与坐标变换 207

习题6.2 210

6.3 线性变换 210

6.3.1 线性变换的概念 210

6.3.2 线性变换的简单性质 212

6.3.3 线性变换的矩阵表示 213

习题6.3 215

6.4 线性变换在不同基下的矩阵 215

习题6.4 218

总习题六 219

附录 222

附录A 矩阵特征问题的数值解 222

附录B 广义逆矩阵简介 227

附录C 数域与多项式简介 230

附录D Maple的基本知识 234

部分习题答案与提示 240

参考文献 261