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第一章　函数、极限、连续 1

1.1　函数 1

一、函数定义域的确定 1

二、函数特性的讨论 5

三、复合函数 8

1.2 极限 11

一、极限定义的使用 11

二、几个重要定理 18

三、极限的计算方法 19

一、连续的定义和充要条件，间断点的分类 33

1.3　连续 33

二、闭区间上连续函数的性质 38

1.4　证题方法综述 39

第二章　导数和微分 43

2.1 导数 43

一、导数的定义和导数存在的充要条件 43

二、求导的方法 52

三、导数的几何、物理应用 63

2.2　微分 65

一、微分的定义和计算 65

二、微分的应用 67

一、定理条件的验证 70

第三章　中值定理与导数的应用 70

3.1 罗尔、拉格朗日、柯西中值定理 70

二、定理的基本应用 72

3.2　泰勒公式 80

一、求函数的泰勒公式 80

二、利用泰勒公式作近似计算 81

三、用泰勒公式证明不等式 83

四、用泰勒公式求极限 85

3.3　导数的应用 86

一、利用导数研究函数的性态 86

二、证明不等式 95

三、证明方程实根的存在性 97

3.4　综合举例 98

第四章　不定积分 106

4.1　最简单的不定积分 106

一、不定积分的概念和基本性质 106

二、最简单的不定积分的计算 108

4.2　换元积分法和分部积分法 112

一、换元积分法 112

二、分部积分法 119

三、换元积分法与分部积分法的综合运用 127

4.3　有理函数的积分 133

4.4 三角函数有理式的积分∫R（sinx,cosx）dx 141

4.5　简单的无理函数的积分 154

4.6　综合举例 158

第五章　定积分 171

5.1　定积分的概念和性质 171

一、定义和它的应用 171

二、性质 174

5.2　定积分的计算方法 177

一、基本计算方法 177

二、特殊类型的积分 183

三、分段函数的积分 186

5.3　积分上限（下限）的函数及其导数 188

5.4　广义积分 193

一、函数在无穷区间上的积分 193

二、积分区间内或区间端点被积函数有无穷间断积分点的 196

三、积分区间为无穷和积分区间上被积函数有无穷间断点的混合情况 200

5.5　综合举例 202

第六章　定积分的应用 209

6.1　元素法 209

6.2　定积分在几何上的应用 211

一、求平面图形的面积 211

二、体积 218

三、平面曲线的弧长 224

6.3　定积分在物理、力学上的应用 227

一、变力沿直线所作的功 227

二、水压力 231

三、其他应用 232

四、平均值和均方根 235

第七章　向量代数及空间解析几何 238

7.1　向量及其线性运算 238

一、向量的概念 238

二、向量的线性运算及其运算规律 238

一、向量的投影 240

7.2　向量的坐标表示式 240

二、向量的坐标表示式 241

三、向量线性运算的坐标表示 242

7.3 两向量的数量积与向量积 243

一、两向量的数量积 243

二、两向量的向量积 244

三、两向量的夹角、垂直与平行条件 245

7.4 平面 253

一、平面方程 253

二、两平面之间的相互关系 254

三、点到平面的距离 254

一、空间的直线方程 258

二、两直线间的关系 258

7.5　空间的直线 258

三、直线与平面的夹角 259

7.6　空间的曲面与曲线 268

一、空间的曲面 268

二、空间的曲线 270

第八章　多元函数的微分法及其应用 276

8.1　多元函数的基本概念 276

一、二元函数的定义 276

二、二元函数的极限 278

三、二元函数的连续性 283

二、偏导数的求法 285

8.2　偏导数 285

一、偏导数的定义 285

三、偏导数的几何意义 287

四、偏导数存在与函数连续性的关系 288

五、方向导数与梯度 289

六、高阶偏导数 293

8.3 全微分及其应用 294

一、全微分 294

二、全微分的应用 298

二、几种推广的情形 300

一、链式法则 300

8.4　多元复合函数的求导法则 300

三、利用多元复合函数求导法则求高阶偏导数 302

8.5 隐函数求导法 309

8.6　偏导数的几何应用 318

一、空间曲线的切线与法平面 318

二、空间曲面的切平面与法线 318

8.7　极值问题的解法 323

一、二元函数无条件极值的求法 323

二、最大值与最小值的求法 327

三、二元函数条件极值的求法 329

9.1　二重积分的概念与性质 334

第九章　重积分 334

9.2　利用直角坐标计算二重积分 337

9.3　利用极坐标计算二重积分 346

9.4　二重积分的换元法 354

9.5　三重积分的概念及其在直角坐标系中的计算法 357

一、概念 357

二、计算方法 358

9.6　利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分 364

9.7　重积分的应用 372

9.8　含参变量的积分 385

10.1　对弧长的曲线积分 389

一、对弧长的曲线积分的定义和性质 389

第十章 曲线积分与曲面积分 389

二、对弧长的曲线积分的计算方法 390

10.2　对坐标的曲线积分 400

一、对坐标的曲线积分的定义和性质 400

二、对坐标的曲线积分的计算方法 401

三、两类曲线积分之间的联系 403

10.3　格林公式及其应用 404

一、格林公式 404

二、与路径无关的曲线积分 411

10.4　对面积的曲面积分 418

一、对面积的曲面积分的定义和性质 418

二、对面积的曲面积分的计算方法 419

10.5　对坐标的曲面积分 423

一、对坐标的曲面积分的定义和性质 423

二、对坐标的曲面积分的计算方法 425

三、两类曲面积分之间的联系 428

10.6　高斯公式△和斯托克斯公式 429

一、高斯公式△和斯托克斯公式 429

二、与曲面无关的曲面积分及与曲线无关的曲线积分 435

三、场论初步 439

10.7　曲线积分和曲面积分的应用 441

一、对弧长的曲线积分和对面积的曲面积分的应用 441

二、对坐标的曲线和曲面积分的应用 448

一、常数项级数的概念与性质 453

第十一章　无穷级数 453

11.1　常数项级数 453

二、正项级数审敛法 457

三、交错级数与任意项级数的审敛法 466

11.2　幂级数 473

一、幂级数的收敛区间 473

二、把函数展开为幂级数 479

三、函数的幂级数展开式在近似计算中的应用 490

11.3　傅立叶级数 494

12.1　一阶微分方程 504

一、基本概念 504

第十二章　微分方程 504

二、可分离变量方程与齐次方程 505

三、线性方程与贝努利方程 513

四、全微分方程 518

五、一阶微分方程综合举例 523

二、二阶常系数线性微分方程 524

12.2　可降阶的高阶微分方程 527

12.3　二阶常系数线性微分方程 533

一、线性微分方程解的结构 533

三、欧拉方程 539

四、幂级数解法与常数变易法举例 540

12.4　微分方程的应用问题 544