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目 录 1

第一章绪论 1

§1关于素质教育 1

§2美与真 2

§3数学是思维的工具 3

§4数学的特点 4

§5数学提供了有特色的思考方式 5

§6数学教育中的弊病与应对 5

6.1数学教育中的弊病 5

6.2数学教育中的应对 6

§7初等数学回顾 7

§8学习原则 8

§9数学与就业 11

§10 当前数学科学发展的主要趋势 12

初中文凭，独步中华——华罗庚 13

第二章数学与人类文明 15

§1 自然数是万物之母 15

1.1三个层次 15

1.2古希腊的数学 16

2.1宇宙的和谐 17

§2数学与自然科学 17

2.2物理学 21

2.3生命的奥秘 22

§3 数学与人文科学 24

3.1数学与西方宗教 24

3.2数学与西方政治 25

3.3 人口论 28

3.4统计方法 28

3.5诺贝尔经济学奖与数学 30

3.6选票分配问题 31

风骨超常伦——伽利略 33

一个叛逆的宇宙设计师——哥白尼 33

宇宙的秩序——开普勒 34

第三章透视画与射影几何 36

§1 绘画与透视 36

1.1绘画体系 36

1.2一个标准，两种风格 37

1.3黄金分割 37

1.4希腊的数学精神与裸体艺术 41

1.5新的时代，新的艺术 42

1.6引入第三维 43

1.7郑板桥画竹 44

1.8数学的引入 45

1.9艺术家丢勒 47

1.10数学定理 47

1.11名画挂在什么地方 49

1.12对透视体系的议论 49

1.13完美的结合，艺术的顶峰 50

1.14从艺术中诞生的科学 53

性灵出万象——达·芬奇 54

2.1点列与线束的透视关系 55

§2射影几何浅窥 55

2.2椭圆、双曲线和抛物线作为圆周的投影 57

2.3无穷远点的引入 57

2.4射影平面 58

2.5交比 60

2.6调和比 62

2.7含无穷远点的交比 62

2.8四条直线的交比 63

2.9对偶原理 63

2.10三个美妙的定理 64

直觉主义的先驱——帕斯卡 66

第四章音乐之声与傅里叶分析 67

§1 音乐——听觉的艺术 67

1.1送往天外的音乐 67

1.2多维艺术 68

§2音律的确定 68

2.1乐音体系 68

2.2古希腊音律的确定 69

2.3古代中国对音律的贡献 70

2.4十二平均律 72

§3数学与音乐的进一步联系 74

3.1梅森的定律 74

3.2黄金分割与作曲 74

3.3伟大的傅里叶 75

§4简谐振动与傅里叶分析 76

4.1简谐振动 76

4.2弹簧的振动 76

4.3傅里叶的定理 79

4.4调幅与调频 82

4.6科学与艺术 84

4.5声学特性与艺术情趣 84

此时无声胜有声——傅里叶 85

第五章漫步数学史 86

§1 学点数学发展史 86

1.1为什么要学点数学史？ 86

1.2四个质不同的时期 87

1.320世纪以来数学科学发展的主要趋势 90

§2 数学文明的发祥 91

2.1埃及——几何的故乡 91

2.2巴比伦——代数的源头 92

2.3 印度——阿拉伯数字的诞生地 94

第六章现代文明的发源地——希腊 96

§1演绎数学的发样 97

1.1数学精神的诞生 97

1.2泰勒斯的贡献 98

§2 毕达哥拉斯学派 98

2.1自然数是万物之母 98

2.2毕达哥拉斯学派对数学的主要贡献 99

2.3第一次数学危机 103

2.4第一次数学危机的消除 105

2.5几何作主导 106

§3希腊的几何学 107

3.1亚历山大时期 107

3.2欧几里得的《几何原本》 107

3.3正多边形作图 108

3.4五种正多面体 108

3.5多面体与宇宙观 111

3.6圆锥曲线 112

§4 亚历山大时期的数学 112

4.1数学在新时期的特点——同哲学断了交，同工程结了盟 112

4.2主要数学成果概述 113

§5阿基米德的平衡法 116

5.1穷竭法 116

5.2阿基米德的平衡法 116

§6 柏拉图与亚里士多德论数学 118

6.1赏心而不悦目 119

6.2自然界是一个真实的世界 119

练习题 120

独占鳌头两千年——欧几里得 121

第七章大哉，中华——中国数学史 122

1.2《九章算术》 123

§1 两汉时期的数学 123

1.1《周髀算经》与勾股定理 123

§2 魏晋、南北朝时期的数学 127

2.1刘徽的数学成就 127

2.2百鸡问题 128

2.3祖冲之父子的贡献 129

2.4中国古代的代数 131

§3 宋元时期的数学 131

3.1贾宪三角和增乘开方法 131

3.2秦九韶与大衍求一术 132

3.3天元术与四元术 133

3.4高阶等差级数与内插法 134

3.5古代数学发展的停滞 136

割圆人间细，方盖宇宙精——刘徽 136

领先世界一千年——祖冲之 137

第八章文艺复兴后的数学 138

§1 数学的新进展 138

1.1阿拉伯的数学 138

1.2对数的认识 138

1.3符号体系 139

§2 新数学的诞生 140

2.1解析几何的诞生 140

2.2微积分产生的主要因素 140

2.3积分学早期史 140

§3第二次数学危机 147

3.1英雄世纪 147

3.2第二次数学危机 147

3.3柯西的功绩 149

3.4外尔斯特拉斯的规划 150

3.5有理数 151

3.6戴德金分划 154

3.7实数的性质 155

3.8实数集合的有序化 156

3.9实数集合的连续性 157

我站在巨人们的肩上——牛顿 158

微积分的创始者，数理逻辑的奠基人——莱布尼茨 159

数学分析的奠基人——柯西 160

大器晚成——外尔斯特拉斯 161

1.1欧氏几何的历史地位 162

1.2几何学在数学教育中的地位 162

第九章来自几何学的思想 162

§1 欧氏几何回顾 162

1.3演绎法的基本特色 163

1.4欧氏几何的内容 164

1.5几何学的进一步发展 165

§2非欧几何 167

2.1非欧几里得几何的诞生 167

2.2黎曼的非欧几何 168

2.3从宇宙飞船上看地球 168

2.5双曲几何的模型 169

2.4球面几何 169

§3几何学的分类 171

3.1三种几何学的异同 171

3.2非欧几何诞生的意义 172

3.3爱尔兰根纲领 173

§4解析几何 173

4.1管卡儿的两个概念 174

4.2解析几何的伟大意义 175

4.3解析几何解决的主要问题 175

4.4老子的哲学 177

几何学中的哥白尼——罗巴切夫斯基 178

深邃的几何学家——B．黎曼 179

第十章数学方法漫谈（1） 180

§1 演绎法 181

§2 类比法 182

2.1描述 182

2.2说理 182

2.3发现新定理 184

2.4蘑菇是丛生的 187

2.5类比推理与人工智能 187

3.1归纳与数学归纳法 188

§3 归纳与数学归纳法 188

3.2等周定理的证明 191

3.3归纳思维的新进展 192

练习题 193

分析的化身——欧拉 194

第十一章数学方法漫谈（2） 195

§1笛卡儿的研究方法 195

1.1笛卡儿的方法论 195

1.2如何化繁为简 196

1.3特殊化与一般化 196

1.4更上一层楼 198

1.5猜测 199

1.6类比是认识高维空间的必由之路 200

§2孙子定理与插值理论 200

2.1孙子定理 200

2.2插值理论 204

2.3求和公式 205

§3 小结 205

一宵奇梦定终生——笛卡儿 206

1.2带余数除法 208

1.1整除 208

§1 带余数除法 208

第十二章辗转相除法 208

1.3带余数除法的重要性 209

§2辗转相除法 211

2.1最大公因数 211

2.2辗转相除法（欧几里得算法） 212

§3正多边形作图 213

3.1正五边形作图 213

3.2两个定理 213

3.3高斯定理 214

4.1不定方程研究什么 215

§4不定方程 215

4.2可解的充要条件 216

4.3通解公式 216

4.4二元一次不定方程的非负解 217

练习题 219

少些，但要成熟——高斯 220

第十三章天文与数学 221

§1 日月星辰与我们 221

1.1问题 221

1.2为什么要学点天文学？ 221

1.3如何制定精确的日历？ 222

§2连分数 223

2.1一种奇特的分数——连分数 223

2.2简单连分数 224

2.3渐近分数 224

§3历法的制定 226

3.1天下共有几种历法？ 226

3.2为什么四年一闰，而百年又少一闰？ 226

3.3公历的改革 227

3.5二十四节气 228

3.4农历的月大月小、闰年闰月 228

3.6闰月放在哪儿？ 229

3.7干支纪年 230

3.8国际公历是如何来的？ 231

3.9公历的纪元 233

练习题 234

第十四章无限的世界 235

§1进入无限 235

1.1有限与无限 236

1.2是奇特，还是矛盾？ 236

1.5跨越断层 237

1.3实无限与潜无限 237

1.4对无限认识的三个阶段 237

1.6 关键思想——一一对应 238

§2 从自然数集到有理数集 240

§3线段与正方形 242

3.1线段与直线间的一一对应 242

3.2十进小数 243

3.3线段与正方形的一一对应 243

§4 有更大的无限集吗？ 244

3.5正确的对应 244

3.4遗留的问题 244

4.1不同的势的存在 245

4.2实数集是不可数的 245

4.3存在性证明 247

4.4代数数 247

4.5无限的算术 249

4.6结语 250

练习题 250

我们必须知道，我们必将知道——希尔伯特 251

无限的拓荒者——康托尔 251

第十五章几何三大难题 253

§1 问题的提出和解决 253

1.1数学的心脏 253

1.2希腊古典时期数学发展的路线 253

1.3几何作图三大问题 254

1.4问题的来源 254

1.5“规”和“矩”的规矩 254

1.6问题的解决 255

§2 放弃“规矩”之后 255

2.1帕普斯的方法 255

2.2阿基米德的方法 256

2.4达·芬奇的化圆为方 257

§3从几何到代数 257

3.1用直尺圆规可以作什么图 257

2.3时钟也会三等分任意角 257

3.2域的定义 259

3.3可构造数域 260

3.4进一步的讨论 261

§4几个代数定理 263

4.1根与系数的关系 263

3.5可作图的数都是代数数 263

4.2 3次方程的根 265

§5几何作图三大问题的解 267

5.1倍积问题 267

5.2三等分任意角 267

5.3化圆为方 268

练习题 268

第十六章回顾与展望 269

§1 第三次数学危机 269

1.1对数学基础的探讨 269

1.2什么是悖论？ 269

1.3悖论与艺术 270

2.1逻辑主义 271

§2数学基础 271

2.2直觉主义 272

2.3形式主义 272

§3哥德尔的不完全性定理 273

§4新的黄金时代 274

§5数学家及其活动与数学社团的成立 275

5.1数学家及其活动 275

5.2数学社团的成立 276

6.1菲尔兹奖 277

§6 两个大奖：菲尔兹奖和沃尔夫奖 277

6.2沃尔夫奖 279

§7希尔伯特问题与20世纪的数学 279

§8七加一数学奖问题 280

8.1克莱数学促进会 280

8.2千禧年悬赏数学问题简介 281

8.3另一个价值百万的数学之谜 281

自在如神之笔，凌云迈往之气——庞加莱 282

永远的不完全——哥德尔 283

参考书目 284