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第1章计算机数学语言概述 1

1.1数学问题计算机求解概述 1

1.1.1 为什么要学习计算机数学语言 1

目录 1

1.1.2数学问题的解析解与数值解 3

1.1.3数学运算问题软件包发展概述 4

1.2计算机数学语言概述 5

1.2.1计算机数学语言 5

1.2.2 3个代表性计算机数学语言 6

1.3关于本书及相关内容 6

1.3.1本书框架设计及内容安排 6

1.3.2本课程与其他相关课程的关系 7

1.4本章要点简介 8

1.5习题 8

第2章MATLAB语言程序设计基础 9

2.1.2数据结构 10

2.1 MATLAB程序设计语言基础 10

2.1.1 MATLAB语言的变量与常量 10

2.1.3 MATLAB的基本语句结构 12

2.1.4 冒号表达式与子矩阵提取 13

2.2基本数学运算 14

2.2.1矩阵的代数运算 14

2.2.2矩阵的逻辑运算 15

2.2.3矩阵的比较运算 16

2.2.4解析结果的化简与变换 17

2.2.5基本数论运算 18

2.3 MATLAB语言的流程结构 20

2.3.1循环结构 20

2.3.2转移结构 22

2.3.3开关结构 23

2.3.4试探结构 24

2.4函数编写与调试 24

2.4.1 MATLAB语言函数的基本结构 25

2.4.2 可变输入输出个数的处理 28

2.4.3 inline函数与匿名函数 29

2.5二维图形绘制 29

2.5.1二维图形绘制基本语句 29

2.5.2其他二维图形绘制语句 32

2.5.3隐函数绘制及应用 33

2.5.4图形修饰 34

2.6三维图形表示 37

2.6.1 三维曲线绘制 37

2.6.2三维曲面绘制 37

2.6.3三维图形视角设置 41

2.7本章要点简介 42

2.8习题 44

3.1微积分问题的解析解 46

3.1.1极限问题的解析解 46

第3章微积分问题的计算机求解 46

3.1.2 函数导数的解析解 48

3.1.3积分问题的解析解 53

3.2函数的级数展开与级数求和问题求解 56

3.2.1 Taylor幂级数展开 56

3.2.2 Fourier级数展开 59

3.2.3级数求和的计算 61

3.3数值微分 63

3.3.1数值微分算法 64

3.3.2 中心差分方法及其MATLAB实现 65

3.3.3二元函数的梯度计算 66

3.4数值积分问题 68

3.4.1 由给定数据进行梯形求积 68

3.4.2单变量数值积分问题求解 70

3.4.3双重积分问题的数值解 73

3.4.4三重定积分的数值求解 75

3.5.1 曲线积分及MATLAB求解 76

3.5曲线积分与曲面积分的计算 76

3.5.2曲面积分与MATLAB语言求解 78

3.6本章要点简介 80

3.7习题 81

第4章线性代数问题的计算机求解 84

4.1特殊矩阵的输入 84

4.1.1数值矩阵的输入 84

4.1.2符号矩阵的输入 89

4.2矩阵基本分析 91

4.2.1 矩阵基本概念与性质 91

4.2.2逆矩阵与广义逆矩阵 98

4.2.3矩阵的特征值问题 103

4.3矩阵的基本变换 107

4.3.1 矩阵的相似变换与正交矩阵 107

4.3.2矩阵的三角分解和Cholesky分解 108

4.3.3矩阵的Jordan变换 113

4.3.4矩阵的奇异值分解 115

4.4矩阵方程的计算机求解 118

4.4.1线性方程组的计算机求解 118

4.4.2 Lyapunov方程的计算机求解 122

4.4.3 Sylvester方程的计算机求解 125

4.4.4 Riccati方程的计算机求解 127

4.5非线性运算与矩阵函数求值 128

4.5.1 面向矩阵元素的非线性运算 128

4.5.2矩阵函数求值 128

4.6本章要点简介 136

4.7习题 138

第5章积分变换与复变函数问题的计算机求解 141

5.1 Laplace变换及其反变换 141

5.1.1 Laplace变换及反变换定义与性质 141

5.1.2 Laplace变换的计算机求解 142

5.2.1 Fourier变换及反变换定义与性质 146

5.2 Fourier变换及其反变换 146

5.2.2 Fourier变换的计算机求解 147

5.2.3 Fourier正弦和余弦变换 149

5.2.4离散Fourier正弦、余弦变换 151

5.3其他积分变换问题及求解 152

5.3.1 Mellin变换 152

5.3.2 Hankel变换及求解 153

5.4 Z变换及其反变换 154

5.4.1 Z变换及反变换定义与性质 154

5.4.2 Z变换的计算机求解 155

5.5复变函数问题的计算机求解 156

5.5.1 留数的概念与计算 156

5.5.2有理函数的部分分式展开 158

5.5.3基于部分分式展开的Laplace变换 164

5.5.4封闭曲线积分问题计算 165

5.6本章要点简介 166

5.7习题 168

第6章代数方程与最优化问题的计算机求解 170

6.1代数方程的求解 170

6.1.1代数方程的图解法 170

6.1.2多项式型方程的准解析解法 172

6.1.3一般非线性方程数值解 176

6.2无约束最优化问题求解 179

6.2.1解析解法和图解法 179

6.2.2基于MATLAB的数值解法 181

6.2.3全局最优解与局部最优解 182

6.2.4利用梯度求解最优化问题 184

6.3有约束最优化问题的计算机求解 186

6.3.1 约束条件与可行解区域 186

6.3.2线性规划问题的计算机求解 187

6.3.3 次型规划的求解 190

6.3.4一般非线性规划问题的求解 191

6.4.1整数线性规划问题的求解 194

6.4整数规划问题的计算机求解 194

6.4.2一般非线性整数规划问题与求解 196

6.4.3 0-1规划问题求解 198

6.5本章要点简介 199

6.6习题 200

第7章微分方程问题的计算机求解 203

7.1常系数线性微分方程的解析解方法 203

7.1.1线性常系数微分方程解析解的数学描述 203

7.1.2微分方程的解析解方法 204

7.1.3 Laplace变换在线性微分方程求解中的应用 206

7.1.4特殊非线性微分方程的解析解 208

7.2微分方程问题的数值解法 209

7.2.1微分方程问题算法概述 210

7.2.2 四阶定步长Runge-Kutta算法及MATLAB实现 211

7.2.3一阶微分方程组的数值解 212

7.2.4微分方程转换 217

7.3.1刚性微分方程的求解 224

7.3特殊微分方程的数值解 224

7.3.2隐式微分方程求解 227

7.3.3微分代数方程的求解 230

7.3.4延迟微分方程求解 233

7.4边值问题的计算机求解 234

7.4.1线性方程边值问题的打靶算法 235

7.4.2非线性方程边值问题的打靶算法 237

7.4.3线性微分方程的有限差分算法 239

7.5偏微分方程求解入门 240

7.5.1偏微分方程组求解 241

7.5.2二阶偏微分方程的数学描述 242

7.5.3偏微分方程的求解界面应用举例 244

7.6微分方程的框图求解 250

7.6.1 Simulink简介 250

7.6.2 Simulink相关模块 251

7.6.3微分方程的Simulink建模与求解 252

7.7本章要点简介 255

7.8习题 257

第8章数据插值、函数逼近问题的计算机求解 260

8.1插值与数据拟合 260

8.1.1一维数据的插值问题 260

8.1.2 已知样本点的定积分计算 263

8.1.3二维网格数据的插值问题 265

8.1.4二维一般分布数据的插值问题 267

8.1.5 高维插值问题 270

8.2样条插值与数值微积分 271

8.2.1样条插值的MATLAB表示 271

8.2.2基于样条插值的数值微积分运算 275

8.3由已知数据拟合数学模型 277

8.3.1多项式拟合 277

8.3.2 给定函数的连分式展开及基于连分式的有理近似 280

8.3.3有理式拟合——Padé近似 282

8.3.4 函数线性组合的曲线拟合方法 284

8.3.5最小二乘曲线拟合 286

8.4信号分析与数字信号处理基础 288

8.4.1信号的相关分析 288

8.4.2快速Fourier变换 291

8.4.3滤波技术与滤波器设计 292

8.5本章要点简介 295

8.6习题 297

第9章概率论与数理统计问题的计算机求解 299

9.1概率分布与伪随机数生成 299

9.1.1 概率密度函数与分布函数概述 299

9.1.2常见分布的概率密度函数与分布函数 300

9.1.3概率问题的求解 307

9.1.4随机数与伪随机数 308

9.2统计量分析 309

9.2.1 随机变量的均值与方差 309

9.2.2随机变量的矩 310

9.2.3多变量随机数的协方差分析 312

9.2.4多变量正态分布的联合概率密度即分布函数 313

9.3数理统计分析方法及计算机实现 314

9.3.1参数估计与区间估计 314

9.3.2多元线性回归与区间估计 316

9.3.3非线性函数的最小二乘参数估计与区间估计 318

9.4统计假设检验 322

9.4.1统计假设检验的概念及步骤 322

9.4.2假设检验问题求解 323

9.5方差分析及计算机求解 326

9.5.1单因子方差分析 327

9.5.2双因子方差分析 328

9.5.3多因子方差分析 331

9.6本章要点简介 331

9.7习题 333

10.1.1经典集合论和模糊集 337

第10章数学问题的非传统解法 337

10.1模糊逻辑与模糊推理 337

10.1.2隶属度与模糊化 340

10.1.3模糊推理系统建立 343

10.1.4模糊规则与模糊推理 345

10.2神经网络及其在数据拟合中的应用 347

10.2.1神经网络基础知识 348

10.2.2神经网络界面 355

10.3遗传算法及其在最优化问题中的应用 357

10.3.1遗传算法的基本概念介绍及MATLAB实现 358

10.3.2遗传算法在求解最优化问题中的应用举例 359

10.3.3遗传算法在有约束最优化问题中的应用 367

10.4小波变换及其在数据处理中的应用 369

10.4.1小波变换及基小波波形 369

10.4.2小波变换技术在信号处理中的应用 374

10.5.1粗糙集理论介绍 377

10.4.3小波问题的程序界面 377

10.5粗糙集理论与应用 377

10.5.2粗糙集数据处理问题的MATLAB求解 380

10.6分数阶微积分学及其应用 383

10.6.1分数阶微积分的定义 384

10.6.2分数阶微积分的计算 385

10.6.3分数阶微分方程的求解方法 396

10.7本章要点简介 401

10.8习题 403

附录A自由数学语言Scilab简介 405

A.1 Scilab简介 405

A.2 Scilab的程序设计基础 405

A.2.1 Scilab变量、常量与数据结构 405

A.2.2 Scilab的基本语句结构 406

A.2.3 Scilab语言的流程控制语句结构 407

A.3 Scilab绘图语句及功能 408

A.2.5 Scilab与MATLAB的接口 408

A.2.4 Scilab编程 408

A.3.1二维图形绘制 409

A.3.2三维图形绘制 409

A.4 Scilab下的基于模型的仿真方法 410

A.5基于Scilab的数学问题求解 410

A.5.1数值微积分问题求解 411

A.5.2数值线性代数问题求解 411

A.5.3积分变换与复变函数 412

A.5.4最优化问题的求解 413

A.5.5微分方程的数值解 413

A.5.6数据处理的实现 414

A.5.7概率论与数理统计 415

A.6本章要点简介 415

A.7习题 415

参考文献 417