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第1章 代数与矩阵基础 1

1.1 代数与矩阵的基本概念 1

1.1.1 代数基本概念 1

1.1.2 矩阵与向量 3

1.1.3 矩阵的基本运算 4

1.2 矩阵的初等变换 6

1.2.1 初等行变换与阶梯型矩阵 7

1.2.2 初等行变换的两个应用 9

1.2.3 初等列变换 12

1.3 矩阵的性能指标 13

1.3.1 矩阵的行列式 13

1.3.2 矩阵的二次型 14

1.3.3 矩阵的特征值 14

1.3.4 矩阵的迹 15

1.3.5 矩阵的秩 16

1.4 内积与范数 18

1.4.1 向量的内积与范数 18

1.4.2 矩阵的内积与范数 22

1.5 矩阵和向量的应用案例 23

1.5.1 模式识别与机器学习中向量的相似比较 23

1.5.2 人脸识别的稀疏表示 25

本章小结 26

习题 26

第2章 特殊矩阵 29

2.1 置换矩阵、互换矩阵与选择矩阵 29

2.1.1 Hermitian矩阵 29

2.1.2 置换矩阵与互换矩阵 30

2.1.3 广义置换矩阵与选择矩阵 32

2.1.4 广义置换矩阵在鸡尾酒会问题中的应用案例 33

2.2 正交矩阵与酉矩阵 34

2.3 三角矩阵 36

2.4 Vandermonde矩阵与Fourier矩阵 37

2.4.1 Vandermonde矩阵 38

2.4.2 Fourier矩阵 40

2.5 Hadamard矩阵 41

2.6 Toeplitz矩阵与Hankel矩阵 43

2.6.1 Toeplitz矩阵 43

2.6.2 Hankel矩阵 44

本章小结 45

习题 45

第3章 矩阵的相似化简与特征分析 48

3.1 特征值分解 48

3.1.1 矩阵的特征值分解 48

3.1.2 特征值的性质 50

3.1.3 特征向量的性质 52

3.1.4 特征值分解的计算 53

3.2 矩阵与矩阵多项式的相似化简 54

3.2.1 矩阵的相似变换 54

3.2.2 矩阵的相似化简 57

3.2.3 矩阵多项式的相似化简 60

3.3 多项式矩阵及相抵化简 63

3.3.1 多项式矩阵与相抵化简的基本理论 64

3.3.2 多项式矩阵的相抵化简方法 66

3.3.3 Jordan标准型与Smith标准型的相互转换 69

3.4 Cayley-Hamilton定理及其应用 74

3.4.1 Cayley-Hamilton定理 74

3.4.2 在矩阵函数计算中的应用 75

3.5 特征分析的应用 78

3.5.1 Pisarenko谐波分解 78

3.5.2 主成分分析 81

3.5.3 基于特征脸的人脸识别 82

3.6 广义特征值分解 87

3.6.1 广义特征值分解及其性质 87

3.6.2 广义特征值分解算法 89

3.6.3 广义特征分析的应用 90

3.6.4 相似变换在广义特征值分解中的应用 92

本章小结 95

习题 95

第4章 奇异值分析 100

4.1 数值稳定性与条件数 100

4.2 奇异值分解 102

4.2.1 奇异值分解及其解释 102

4.2.2 奇异值的性质 105

4.2.3 矩阵的低秩逼近 107

4.2.4 奇异值分解的数值计算 108

4.3 乘积奇异值分解 111

4.3.1 乘积奇异值分解问题 111

4.3.2 乘积奇异值分解的精确计算 112

4.4 奇异值分解的工程应用案列 114

4.4.1 静态系统的奇异值分解 114

4.4.2 图像压缩 115

4.4.3 数字水印 119

4.5 广义奇异值分解 123

4.5.1 广义奇异值分解的定义与性质 123

4.5.2 广义奇异值分解的实际算法 125

4.5.3 广义奇异值分解的应用例子 128

本章小结 129

习题 129

第5章 子空间分析 131

5.1 子空间的一般理论 131

5.1.1 子空间的基 131

5.1.2 无交连、正交与正交补 133

5.1.3 子空间的正交投影与夹角 135

5.2 列空间、行空间与零空间 137

5.2.1 矩阵的列空间、行空间与零空间 137

5.2.2 子空间基的构造：初等变换法 140

5.2.3 基本空间的标准正交基构造：奇异值分解法 142

5.3 信号子空间与噪声子空间 144

5.4 快速子空间跟踪与分解 147

5.4.1 投影逼近子空间跟踪 147

5.4.2 快速子空间分解 152

5.5 子空间方法的应用 156

5.5.1 多重信号分类 156

5.5.2 子空间白化 157

5.5.3 盲信道估计的子空间方法 158

本章小结 164

习题 164

第6章 广义逆与矩阵方程求解 167

6.1 广义逆矩阵 167

6.1.1 满列秩和满行秩矩阵的广义逆矩阵 167

6.1.2 Moore-Penrose逆矩阵 168

6.2 广义逆矩阵的求取 172

6.2.1 广义逆矩阵与矩阵分解的关系 172

6.2.2 Moore-Penrose逆矩阵的数值计算 173

6.3 最小二乘方法 175

6.3.1 普通最小二乘方法 176

6.3.2 数据最小二乘 177

6.3.3 Tikhonov正则化方法 178

6.3.4 交替最小二乘方法 180

6.4 总体最小二乘 184

6.4.1 总体最小二乘问题 184

6.4.2 总体最小二乘解 185

6.4.3 总体最小二乘解的性能 190

6.5 约束总体最小二乘 190

6.5.1 约束总体最小二乘方法 190

6.5.2 最小二乘方法及其推广的比较 192

6.6 稀疏矩阵方程求解 193

6.6.1 L1范数最小化 194

6.6.2 贪婪算法 195

6.6.3 同伦算法 197

6.7 三个应用案例 198

6.7.1 恶劣天气下的图像恢复 198

6.7.2 总体最小二乘法在确定地震断层面参数中的应用 202

6.7.3 谐波频率估计 204

本章小结 209

习题 210

第7章 矩阵微分与梯度分析 213

7.1 Jacobian矩阵与梯度矩阵 213

7.1.1 Jacobian矩阵 213

7.1.2 梯度矩阵 214

7.1.3 梯度计算 215

7.2 一阶实矩阵微分与Jacobian矩阵辨识 217

7.2.1 一阶实矩阵微分 217

7.2.2 标量函数的Jacobian矩阵辨识 219

7.2.3 矩阵微分的应用举例 226

7.3 实变函数无约束优化的梯度分析 227

7.3.1 单变量函数f（x）的平稳点与极值点 228

7.3.2 多变量函数f（x）的平稳点与极值点 230

7.3.3 多变量函数f（X）的平稳点与极值点 231

7.3.4 实变函数的梯度分析 233

7.4 平滑凸优化的一阶算法 235

7.4.1 凸集与凸函数 235

7.4.2 无约束凸优化的一阶算法 237

7.5 约束凸优化算法 243

7.5.1 标准约束优化问题 243

7.5.2 极小-极大化与极大-极小化方法 244

7.5.3 Nesterov最优梯度法 248

本章小结 250

习题 250

参考文献 252