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第1章 基本定理 1

1.1 解的存在唯一性定理 1

1.2 解的延拓 3

1.3 解对初值和参数的连续依赖性和可微性 9

1.4 比较定理 13

习题1 21

第2章 动力系统的基本知识 23

2.1 自治系统与非自治系统 23

2.1.1 相空间与轨线 23

2.1.2 自治系统的基本性质 25

2.1.3 动力系统的概念 28

2.2 轨线的极限集合 29

2.2.1 常点与奇点 29

2.2.2 自治系统解的延拓性 30

2.2.3 ω极限集与α极限集及其基本性质 32

2.3 平面上的极限集 35

2.3.1 平面有界极限集的特性与结构 35

2.3.2 Poincar？-Bendixson环域定理 37

2.4 极限集的应用实例 39

2.4.1 Volterra捕食-被捕食模型 39

2.4.2 三极管电路的van der Pol方程 42

习题2 44

第3章 稳定性理论 46

3.1 稳定性的定义和例子 46

3.1.1 稳定性的几个定义 46

3.1.2 稳定性的关系及例子 49

3.2 自治系统零解的稳定性 54

3.2.1 ν函数 54

3.2.2 Liapunov稳定性定理 55

3.2.3 不稳定性定理 57

3.3 非自治系统零解的稳定性 59

3.3.1 V函数和k类函数 59

3.3.2 零解的稳定性 62

3.3.3 零解的不稳定性 65

3.4 全局稳定性 67

3.4.1 全局稳定的概念和判定定理 67

3.4.2 应用举例 71

3.4.3 吸引域的估计 73

3.5 线性系统及其扰动系统的稳定性 73

3.5.1 常系数线性系统的稳定性 74

3.5.2 线性系统的扰动 81

3.5.3 非自治线性系统的稳定性 84

3.6 临界情形下奇点的稳定性分析 87

3.6.1 中心流形 88

3.6.2 中心流形定理 92

3.6.3 临界情况下奇点的稳定性分析举例 95

3.7 Liapunov函数的构造 102

3.7.1 Liapunov函数的存在性 102

3.7.2 常系数线性系统的巴尔巴欣公式 104

3.7.3 二次型方法的推广 108

3.7.4 线性类比法 110

3.7.5 能量函数法 112

3.7.6 分离变量法 113

3.7.7 变梯度法 114

3.8 判定稳定性时的比较方法 116

3.8.1 与数量方程的比较 116

3.8.2 与向量方程的比较 120

习题3 122

第4章 平面系统的奇点 125

4.1 初等奇点 125

4.1.1 线性系统的孤立奇点 125

4.1.2 非线性系统的双曲奇点 135

4.2 中心与焦点的判定 140

4.2.1 非双曲初等奇点的类型与中心的判定定理 140

4.2.2 细焦点及其判定法 147

4.3 高阶奇点 157

4.3.1 沿不变直线方向的拉伸变换 158

4.3.2 通过极坐标变换的“吹胀”技巧 160

4.3.3 沿χ与y方向的“吹胀” 165

4.3.4 非齐次“吹胀” 169

4.4 旋转数与指数 171

4.4.1 旋转数及其基本性质 171

4.4.2 奇点的指数 173

习题4 177

第5章 极限环 179

5.1 基本概念与极限环的不存在性 179

5.1.1 基本概念 179

5.1.2 极限环不存在性的判定法 181

5.2 极限环的存在性 187

5.3 后继函数与极限环的稳定性 198

5.3.1 Poinear？映射与后继函数 198

5.3.2 曲线坐标与极限环的稳定性 200

5.4 极限环的唯一性 204

习题5 211

第6章 无穷远奇点与全局结构 212

6.1 无穷远奇点 212

6.1.1 Poincar？球面与Poincar？变换 212

6.1.2 无穷远奇点与Poincar？圆盘 214

6.2 轨线的全局结构分析举例 224

习题6 228

第7章 分支理论 229

7.1 一个例子 229

7.2 结构稳定与分支现象 230

7.2.1 结构稳定的定义 230

7.2.2 结构稳定的等价描述 232

7.2.3 结构不稳定：分支现象 233

7.3 奇点分支 234

7.3.1 一维系统的奇点分支 234

7.3.2 二维或更高维系统的奇点分支 238

7.3.3 给定扰动参数的奇点分支问题 242

7.4 Hopf分支 243

7.4.1 平面系统的Hopf分支 244

7.4.2 利用特征根的共振性求正规形 255

7.4.3 三维或更高维系统的Hopf分支 257

7.5 闭轨分支 259

7.5.1 平面系统的闭轨分支 259

7.5.2 三维或更高维系统的闭轨分支 263

7.6 奇异闭轨分支 268

7.6.1 平面系统的同宿分支 269

7.6.2 旋转向量场 270

7.6.3 平面系统同宿分支的例子 272

7.6.4 关于异宿分支和高维系统奇异闭轨分支的介绍 275

7.7 Poincar？分支——从平面闭轨族分支极限环 276

7.7.1 平面Hamilton系统的扰动问题 276

7.7.2 高阶Melnikov函数 284

7.7.3 平面可积系统的扰动问题 286

7.7.4 弱化的希尔伯特第16问题 287

7.8 从高维系统的闭轨族产生周期解的分支问题 289

7.9 Bogdanov-Takens分支 296

7.9.1 利用变换求正规形 296

7.9.2 余维2的B-T分支：普适开折的推导 298

7.9.3 余维2的B-T分支：分支图与轨线拓扑分类 302

习题7 303

第8章 常微分方程的应用举例 308

8.1 一个三种群相互作用的Volterra模型研究 308

8.1.1 正平衡解的稳定性 308

8.1.2 模型平面解的存在性及其渐近性态 311

8.1.3 一个Volterra模型的Hopf分支 314

8.2 传染病模型 317

8.2.1 假设和记号 317

8.2.2 SIS模型 317

8.2.3 SIR模型 319

8.2.4 SEIR模型 321

8.3 一个总人口变化的SEIR模型的全局性态分析 323

8.3.1 模型及其平衡解 323

8.3.2 无病平衡点的稳定性 325

8.3.3 地方病平衡点的稳定性 327

8.3.4 地方病平衡点的全局稳定性 329

8.4 三分子反应模型 332

8.4.1 模型及其奇点分析 332

8.4.2 极限环的存在唯一性 334

8.5 一个具有非线性传染率的SI模型的稳定性与分支 336

8.5.1 具有非线性传染率的SI模型 336

8.5.2 平衡点的稳定性 338

8.5.3 模型（8.5.3 ）的Bogdanov-Takens分支 341

8.6 一个具有饱和恢复率的季节性传染病模型 348

8.6.1 模型及其基本再生数 348

8.6.2 两个正周期解的存在性 349

8.6.3 周期解的稳定性 354

习题8 359

参考文献 362