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第1章 行列式 1

1.1 二阶与三阶行列式 1

1.1.1 二元线性方程组与二阶行列式 1

1.1.2 三阶行列式 2

1.2 全排列及逆序数 4

1.3 n阶行列式的定义 5

1.4 行列式的性质 8

1.5 行列式按行列展开法则 13

1.6 克拉默法则 18

习题一 21

第2章 矩阵及其运算 23

2.1 矩阵 23

2.1.1 矩阵的概念 23

2.1.2 特殊矩阵 24

2.2 矩阵的运算 24

2.2.1 矩阵的加法 25

2.2.2 矩阵的数乘 25

2.2.3 矩阵的乘法 26

2.2.4 方阵的幂 28

2.2.5 矩阵的转置 29

2.2.6 方阵的行列式 30

2.3 矩阵的逆 31

2.3.1 逆矩阵的概念 31

2.3.2 可逆矩阵的条件 31

2.3.3 可逆矩阵的性质 32

2.3.4 求可逆矩阵的方法 32

2.3.5 可逆矩阵的应用 34

2.4 分块矩阵 34

2.5 矩阵的初等变换和初等矩阵 38

2.5.1 矩阵的初等变换 38

2.5.2 初等矩阵的概念及性质 42

2.5.3 初等矩阵的作用 43

2.5.4 初等矩阵的应用 44

2.6 矩阵的秩 47

2.6.1 矩阵秩的概念 47

2.6.2 矩阵秩的求法 48

2.6.3 矩阵秩的性质 50

2.7 线性方程组的解 50

习题二 55

第3章 向量组的线性相关性 58

3.1 n维向量的概念 58

3.1.1 n维向量 58

3.1.2 向量组 59

3.2 向量组的线性组合 60

3.3 向量组的线性相关性 63

3.3.1 线性相关性概念 64

3.3.2 线性相关性的判定 65

3.3.3 向量组线性相关性的有关理论 66

3.4 向量组的秩 67

3.4.1 极大线性无关向量组 68

3.4.2 矩阵与向量组秩的关系 68

3.4.3 向量组秩的一些简单结论 70

3.5 向量空间 71

习题三 73

第4章 线性方程组解的结构 74

4.1 齐次线性方程组解的结构 74

4.2 非齐次线性方程组解的结构 80

习题四 84

第5章 相似矩阵及二次型 86

5.1 预备知识 86

5.1.1 向量的内积 86

5.1.2 向量的长度及夹角 86

5.1.3 正交向量组的概念及求法 87

5.1.4 正交矩阵与正交变换 89

5.2 方阵的特征值与特征向量 90

5.2.1 特征值与特征向量的概念 90

5.2.2 特征值与特征向量的求法 91

5.2.3 特征值与特征向量的性质 93

5.3 相似矩阵 94

5.3.1 相似矩阵的概念 94

5.3.2 相似矩阵的性质 94

5.3.3 矩阵相似对角化的条件 95

5.4 对称矩阵的对角化 98

5.5 二次型及其标准形 101

5.5.1 二次型及其矩阵形式 102

5.5.2 线性变化下的二次型 103

5.5.3 矩阵的合同 103

5.6 化二次型为标准形 104

5.6.1 正交变换法 104

5.6.2 配方法 107

5.7 正定二次型 109

5.7.1 惯性定理 109

5.7.2 正定二次型的概念 109

5.7.3 正定二次型的判定 110

习题五 112

参考文献 114

习题参考答案 115