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第1章 行列式 1

1.1 从货物交换和费用分摊问题谈起 1

1.1.1 货物交换的经济模型 1

1.1.2 费用分摊问题 2

1.2 行列式的概念 4

1.2.1 二阶、三阶行列式 4

1.2.2 全排列及其逆序数 6

1.2.3 n阶行列式的定义 7

1.3 行列式的性质 11

1.4 行列式的展开法则 14

1.5 行列式的计算 18

1.6 行列式应用软件介绍 23

习题1 26

第2章 矩阵 33

2.1 从一些经济问题的表述谈起 33

2.1.1 运输问题的矩阵表述 33

2.1.2 商品价格及销售量的矩阵表述 33

2.1.3 对策论中局中人收益的矩阵表述 34

2.2 矩阵的概念 34

2.2.1 矩阵 34

2.2.2 几种特殊矩阵 35

2.2.3 关于数域的说明 37

2.3 矩阵的运算 37

2.3.1 矩阵的加法运算 37

2.3.2 数乘运算 38

2.3.3 矩阵的乘法运算 39

2.3.4 方阵的幂运算 42

2.3.5 方阵的行列式运算 44

2.3.6 矩阵的转置运算 44

2.3.7 矩阵的共轭 46

2.4 方阵的逆矩阵 46

2.4.1 逆矩阵的基本概念 46

2.4.2 方阵可逆的条件及逆阵的性质 47

2.5 分块矩阵 52

2.5.1 分块矩阵的加法与数乘运算 52

2.5.2 乘法运算 53

2.5.3 分块矩阵的转置运算 55

2.5.4 分块对角阵 55

2.6 矩阵的初等变换 56

2.7 初等矩阵与初等变换法求逆矩阵 61

2.7.1 初等矩阵 61

2.7.2 初等变换法求逆矩阵 65

2.8 矩阵的秩 67

2.8.1 概念及性质 67

2.8.2 矩阵秩的求解 68

2.9 矩阵运算的软件介绍 72

习题2 78

第3章 线性方程组 88

3.1 从一个经济生活问题谈起 88

3.2 解线性方程组的Cramer法则 90

3.3 解线性方程组的消元法 95

3.3.1 消元法 96

3.3.2 线性方程组解的判别定理 98

3.4 n维向量及其运算 102

3.4.1 n维向量的概念 102

3.4.2 向量的线性运算 103

3.4.3 向量的内积、长度、距离与夹角 105

3.4.4 向量的正交 108

3.5 向量的线性相关性 109

3.5.1 线性表示 109

3.5.2 线性相关与线性无关 111

3.6 向量组的秩 116

3.6.1 向量组的秩 116

3.6.2 再论矩阵的秩 119

3.6.3 正交向量组、施密特（schmidt）正交化 124

3.7 线性方程组解的结构 127

3.7.1 齐次线性方程组解的结构 127

3.7.2 非齐次线性方程组解的结构 131

3.8 求解线性方程组的软件介绍 135

习题3 138

第4章 矩阵的特征值与特征向量 147

4.1 从一个投入产出模型谈起 147

4.2 特征值与特征向量的概念与计算 148

4.3 特征值与特征向量的性质 152

4.4 矩阵的对角化 154

4.4.1 相似矩阵及其性质 154

4.4.2 矩阵对角化的条件 155

4.4.3 矩阵对角化的实现 158

4.4.4 实对称矩阵的对角化 160

4.5 Jordan标准形简介 163

4.6 求特征值和特征向量的软件介绍 165

习题4 167

第5章 二次型 170

5.1 从利润最大化问题谈起 170

5.2 二次型及其标准形 171

5.2.1 二次型与其矩阵表示 171

5.2.2 二次型的标准形 173

5.3 化二次型为标准形 175

5.3.1 用正交变换化二次型为标准形 175

5.3.2 用满秩线性变换化二次型为标准形（配方法） 177

5.3.3 用初等变换化二次型为标准形 180

5.3.4 惯性定理 183

5.4 二次型的有定及不定性 186

5.4.1 正定二次型及正定矩阵 186

5.4.2 二次型的有定性 192

5.5 研究二次型的软件介绍 194

习题5 196

第6章 线性空间与线性变换 199

6.1 线性空间的概念与性质 199

6.1.1 定义与性质 199

6.1.2 向量空间的例子 200

6.1.3 线性空间的基本性质 201

6.1.4 子空间 201

6.2 线性空间的基与维数 203

6.2.1 线性空间中向量的线性关系 203

6.2.2 基与维数 203

6.2.3 坐标变换公式 205

6.3 线性变换的概念 209

6.3.1 线性变换的定义及例子 209

6.3.2 线性变换的性质 211

6.4 线性变换的矩阵 212

6.4.1 线性变换的矩阵 212

6.4.2 线性变换与矩阵间的一一对应 214

6.4.3 线性变换在不同基下的矩阵 215

6.5 线性变换的运算 218

6.5.1 线性变换的加法 218

6.5.2 数乘线性变换 219

6.5.3 线性变换的乘法 219

习题6 221

第7章 线性规划 225

7.1 线性规划的数学模型 225

7.1.1 问题的提出 225

7.1.2 线性规划的数学模型 227

7.1.3 线性规划模型解的基本概念 229

7.2 线性规划问题的图解法 230

7.3 线性规划问题的单纯形法 233

7.3.1 基本定理 233

7.3.2 单纯形方法 236

7.3.3 单纯形表的矩阵形式 242

7.3.4 二阶段法 244

7.4 运输问题的表上作业法与图上作业法 246

7.4.1 平衡运输问题的数学模型 246

7.4.2 表上作业法 247

7.4.3 图上作业法 252

7.5 解决线性规划问题的软件介绍 257

7.5.1 利用Mathematica求解线性规划问题 257

7.5.2 利用Lindo软件求解线性规划问题 258

习题7 263

参考答案 267

附录1 数学的作用和魅力 282

附录2 回首线性代数 288

附录3 21世纪专业人才的数学素养随想 291

参考文献 297