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上篇 高等数学理论部分 2

第一章 函数极限与连续 2

第一节 函数 2

一、函数的概念 2

二、函数的性质 4

三、复合函数与反函数 5

四、初等函数 5

第二节 极限 9

一、数列的极限 9

二、函数的极限 11

第三节 极限的运算法则 16

一、无穷小量的运算 16

二、极限的四则运算法则 16

第四节 极限存在准则与两个重要极限公式 19

一、准则Ⅰ与第一个重要极限公式lim x→0 sinx/x=1 19

二、准则Ⅱ与第二个重要极限公式lim x→∞（1＋1/x）x=e 21

三、无穷小量的阶 23

第五节 函数的连续性 23

一、连续函数的概念 23

二、函数的间断点 25

三、初等函数的连续性 26

四、闭区间上连续函数的性质 28

第二章 导数与微分 35

第一节 导数的概念 35

一、问题的提出 35

二、导数的定义 36

三、导数的几何意义 38

四、函数的连续性与可导性 39

第二节 函数四则运算的求导法则 39

一、常数和几个基本初等函数的导数 39

二、函数四则运算的求导法则 40

第三节 复合函数、反函数的求导法则 41

一、复合函数求导法则 41

二、反函数求导法则 42

第四节 隐函数、含参数方程的求导法则 44

一、隐函数的求导法则 44

二、对数求导法 44

三、由参数方程所确定的函数的导数 45

四、初等函数的求导公式 46

第五节 高阶导数 46

第六节 微分及其运算 48

一、微分的定义 48

二、可微的条件 49

三、微分的几何意义 49

四、微分的基本公式及法则 50

五、微分形式的不变性 51

六、微分在近似计算和误差估计中的应用 52

第三章 中值定理和导数的应用 58

第一节 微分中值定理 58

一、罗尔定理 58

二、拉格朗日中值定理 60

三、有关中值定理的一些应用 61

四、柯西中值定理 62

第二节 洛必达法则 63

一、0/0型不定式 64

二、∞/∞型不定式 65

三、其他类型的不定式 65

第三节 泰勒公式 67

一、f（x）在x0处的n次泰勒多项式 67

二、带余项的泰勒公式 67

三、几个初等函数的麦克劳林展开式 68

第四节 函数的单调性与极值 70

一、函数单调性 70

二、函数的极值 71

三、函数的最大值与最小值 73

第五节 函数性态的研究 75

一、函数曲线的凹凸性及拐点 75

二、曲线的渐近线 76

三、利用导数描绘函数的图形 77

第六节 导数在生命科学中的应用 79

第四章 不定积分 86

第一节 不定积分的概念与性质 86

一、不定积分 86

二、基本积分公式 88

三、不定积分的运算性质 89

第二节 换元积分法 91

一、第一类换元积分法 92

二、第二类换元积分法 95

第三节 分部积分法 98

第四节 有理函数的不定积分 101

第五章 定积分及其应用 110

第一节 定积分的概念与性质 110

一、问题提出 110

二、定积分的概念 112

三、定积分的性质 113

第二节 微积分学基本定理 116

一、积分上限函数 116

二、微积分学基本定理 118

第三节 换元积分法 120

第四节 分部积分法 122

第五节 反常积分与Г（x） 123

一、无限区间上的反常积分 123

二、无界函数的反常积分 125

三、Г函数 127

第六节 定积分在几何中的应用 127

一、微元法 128

二、平面图形的面积 128

三、旋转体的体积 130

第七节 定积分在医药学中的应用 131

第六章 微分方程 137

第一节 微分方程的基本概念 137

一、引例 137

二、微分方程的定义 138

第二节 可分离变量的微分方程 139

一、可分离变量的微分方程定义 139

二、可分离变量法 139

第三节 一阶线性微分方程 141

一、一阶线性微分方程定义 141

二、常数变异法 141

第四节 二阶常系数线性齐次微分方程 144

一、二阶常系数线性齐次微分方程定义 144

二、特征方程法 144

第五节 二阶常系数非齐次线性微分方程 146

一、二阶常系数非齐次线性微分方程定义 146

二、两种情况下的求解方法 147

第七章 向量与空间解析几何 158

第一节 向量及其线性运算 158

一、空间直角坐标系 158

二、向量的基本概念 160

三、向量的线性运算 161

四、向量的坐标表示法 162

五、向量的模和方向余弦 166

第二节 向量的数量积和向量积 168

一、向量的数量积 168

二、向量的向量积 170

第三节 空间平面及其方程 172

一、平面的点法式方程 172

二、平面的一般式方程 173

三、两平面间的夹角 175

第四节 空间直线及其方程 177

一、直线的一般式方程 177

二、直线的点向式方程和参数式方程 177

三、空间两直线间的夹角 179

四、直线与平面的夹角及位置关系 180

五、平面束方程 181

第五节 空间曲面及其方程 181

一、空间曲面的方程 181

二、空间柱面的方程 182

三、旋转曲面的方程 182

四、二次曲面的方程 183

第六节 空间曲线及其方程 187

一、空间曲线的一般方程 187

二、空间曲线的参数方程 187

三、空间曲线在坐标面上的投影 187

第八章 多元函数的微分法 193

第一节 多元函数的极限与连续 193

一、多元函数的定义 193

二、二元函数的极限 196

三、二元函数的连续性 198

第二节 偏导数 199

一、偏导数的定义及其计算法 199

二、高阶偏导数 203

第三节 全微分 205

一、全增量与全微分 205

二、全微分在近似计算中的应用 208

第四节 多元复合函数的求导 208

一、中间变量是一元函数的情形 209

二、中间变量是多元函数的情形 209

第五节 隐函数的求导 211

第六节 方向导数与梯度 213

第七节 偏导数在空间几何中的应用 216

一、空间曲线的切线与法平面 216

二、空间曲面的切平面与法线 220

第八节 二元函数的极值和泰勒公式 222

一、二元函数的极值 222

二、条件极值和拉格朗日乘数法 224

三、二元函数的泰勒公式 227

第九章 重积分及曲线积分 240

第一节 二重积分的概念和性质 240

一、二重积分的概念 240

二、二重积分的性质 243

第二节 二重积分的计算 244

一、利用直角坐标系计算二重积分的问题 244

二、利用极坐标系计算二重积分的问题 249

第三节 二重积分的应用 251

一、空间曲面的面积 251

二、空间几何体的体积 253

三、平面薄片的重心 254

四、平面薄片的转动惯量 256

五、平面薄片对质点的引力 256

第四节 三重积分 257

一、三重积分的概念 257

二、三重积分的计算 259

三、三重积分的换元法 261

第五节 对弧长的曲线积分 265

一、对弧长的曲线积分的概念 265

二、对弧长的曲线积分的性质 265

三、对弧长的曲线积分的计算法 266

第六节 对坐标的曲线积分 268

一、对坐标的曲线积分的概念与性质 268

二、对坐标的曲线积分的计算 270

三、两类曲线积分之间的联系 272

第七节 格林公式及其应用 272

一、格林公式 272

二、平面上曲线积分与路径无关的条件 275

三、二元函数的全微分求积 276

第十章 无穷级数 286

第一节 常数项级数的概念和性质 286

一、常数项级数的概念 286

二、无穷级数的基本性质 288

三、级数收敛的必要条件 289

第二节 常数项级数的审敛法 290

一、正项级数及其审敛法 290

二、交错级数及其审敛法 293

三、绝对收敛与条件收敛 294

第三节 幂级数 296

一、幂级数的概念 296

二、幂级数的收敛性 296

三、幂级数的运算 299

第四节 函数展成幂级数 300

一、泰勒级数 300

二、函数展开成幂级数 301

下篇 高等数学实验部分 312

实验一 Matlab入门及基础操作 312

实验二 二维图形的绘制 320

实验三 极限与连续 326

实验四 一元微分学 329

实验五 一元函数积分学 335

实验六 三维图形的画法 337

实验七 多元函数微分学 344

实验八 多元函数积分学 348

实验九 微分方程和无穷级数 349