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绪论：偏文类大学生与高等数学 1

0.1偏文类大学生为什么要学高等数学 1

0.1.1为“用”而学：数学工具已在人文社科类各领域广泛应用 1

0.1.2为“育”而学：数学教育对偏文类大学生有重要的训育作用 2

0.2偏文类大学生怎样学高等数学 5

0.2.1浅析数学的“层次” 5

0.2.2浅析数学之“魂” 7

0.2.3偏文类学生学习数学应该是“轻其技而重其魂” 11

思考题0 12

第1章 数学成长的崎岖历程 14

1.1数学史的分期 14

1.1.1史前数学期（数学萌芽期） 14

1.1.2初等数学期（古典数学期，常量数学期） 15

1.1.3高等数学期（近代数学期，变量数学期） 16

1.1.4现代数学期 17

1.2数系和数集 18

1.2.1数与进位制 18

1.2.2复数系和其他的“数” 20

1.2.3实数系的连续性 22

1.2.4集合论简介 24

1.3古希腊文明与第一次数学危机 28

1.3.1古希腊文明——现代西方文明的源头 29

1.3.2新生的数学学科遭遇第一次危机 30

1.3.3第一次数学危机的历史意义 32

1.4文艺复兴与第二次数学危机 33

1.4.1文艺复兴：初等数学走到了变革的门槛 33

1.4.2第一个决定性的步骤：创立解析几何，变量进入了数学 35

1.4.3第二个决定性的步骤：建立微积分，开启了近代数学的主流 37

1.4.4第三个决定性的步骤：克服第二次数学危机，奠定了数学大厦的底层基础 40

1.5公理化情结与第三次数学危机 45

1.5.1源于古希腊的“公理化传统” 45

1.5.2近代的“公理化运动” 47

1.5.3罗素给了数学界一记闷棍 51

1.5.4永远的“不完全性” 53

简短的小结 56

思考题1 56

第2章 概念、命题与推理 60

2.1概念与定义 60

2.1.1概念 60

2.1.2定义 62

2.2命题与定理 63

2.2.1判断与命题 63

2.2.2公理与公设 64

2.2.3定理与“定理群” 65

2.2.4充分条件与必要条件 67

2.3几种常用的数学推理 68

2.3.1演绎与类比 68

2.3.2化归与映射-反演 70

2.3.3分析与综合 72

2.3.4一般归纳法与数学归纳法 73

2.3.5合情推理与猜想 75

简短的小结 75

思考题2 76

第3章 函数与极限 77

3.1直角坐标系 77

3.1.1实数轴与邻域 77

3.1.2平面直角坐标系 78

3.1.3三维空间中的直角坐标系 79

3.2函数及其图形 79

3.2.1函数的概念 79

3.2.2函数的图形 80

3.2.3函数的性质 82

3.2.4复合函数与反函数 84

3.3初等函数简介 85

3.3.1基本初等函数 85

3.3.2初等函数 91

3.4极限与连续 91

3.4.1极限的思想与表达 91

3.4.2极限的性质与计算 97

3.4.3函数的连续性 101

简短的小结 104

习题3 105

第4章 微分学 108

4.1导数的概念 108

4.1.1两个问题“殊途同归” 108

4.1.2导数的概念 110

4.2导数的运算 113

4.2.1导数的运算法则 113

4.2.2基本初等函数的求导公式 115

4.2.3高阶导数 115

4.2.4隐函数的导数 116

4.3微分 117

4.3.1微分的概念 117

4.3.2微分的简单应用 118

4.4导数的应用 119

4.4.1中值定理 119

4.4.2洛必达法则 121

4.4.3函数的单调性和凹凸性 124

4.4.4极值与最值 127

4.4.5简单图形的绘制 129

简短的小结 132

习题4 132

第5章 积分学 136

5.1不定积分 136

5.1.1逆运算与原函数 136

5.1.2不定积分的概念 136

5.1.3基本积分表 137

5.1.4不定积分的线性性质 138

5.2定积分 139

5.2.1求曲边图形的面积 139

5.2.2定积分的概念 141

5.2.3定积分的性质 142

5.3微积分基本定理 143

5.3.1微积分基本定理 143

5.3.2牛顿-莱布尼茨公式 144

5.4各类积分方法简介 146

5.4.1第一类换元法 146

5.4.2第二类换元法 147

5.4.3分部积分法 149

5.4.4奇偶函数与周期函数的定积分 151

5.5反常积分 153

5.6定积分的一些应用 154

简短的小结 156

习题5 156

第6章 概率论初步 159

6.1随机事件及其概率 159

6.1.1随机事件与样本空间 159

6.1.2概率的三个定义 161

6.1.3概率加法定理 163

6.1.4条件概率和概率乘法定理 164

6.1.5全概率公式和贝叶斯公式 166

6.2随机变量及其整体描述 168

6.2.1随机变量的概念 169

6.2.2离散型随机变量的整体描述 170

6.2.3连续型随机变量的整体描述 173

6.3随机变量的特征描述 178

6.3.1随机变量的数学期望 178

6.3.2随机变量的方差 181

6.3.3几种常用随机变量的期望与方差 183

简短的小结 185

习题6 186

第7章 数理统计初步 189

7.1总体与样本 189

7.2统计量 190

7.2.1统计量及其观测值 190

7.2.2几个常用统计量 190

7.3参数估计 191

7.3.1参数的点估计 192

7.3.2参数的区间估计 193

7.4假设检验 194

7.4.1假设检验的思想 194

7.4.2正态总体参数的假设检验 195

7.4.3假设检验可能犯的错误 196

简短的小结 197

习题7 197

第8章 多元线性方程组 199

8.1线性方程组与高斯消去法 200

8.1.1问题的提出 200

8.1.2矩阵的概念 203

8.1.3高斯消去法的矩阵形式 205

8.2矩阵的代数运算 207

8.2.1矩阵的线性运算 207

8.2.2 矩阵的转置 208

8.2.3矩阵的乘法 209

8.3矩阵的初等变换与秩 214

8.3.1矩阵的初等变换 214

8.3.2矩阵的秩 217

8.3.3逻辑的延伸 219

8.4线性方程组的分类与解的表达 220

8.4.1线性方程组的类型识别 220

8.4.2用行初等变换求线性方程组的解 223

8.4.3解的结构 225

8.4.4不相容方程组的近似解 232

简短的小结 235

习题8 236

第9章 数学的文化影响面面观 243

9.1数学的文化地位 243

9.2数学与天文学和历法 244

9.2.1简单连分数 245

9.2.2连分数与历法 247

9.2.3开普勒的故事 250

9.2.4牛顿：“站在巨人的肩上” 256

9.3数学与美术 257

9.3.1美哉“黄金分割”！ 258

9.3.2焦点透视体系与射影几何学 265

9.3.3分形几何与绘画 273

9.4数学与音乐 278

9.4.1音乐是多维的宇宙语言 278

9.4.2音律之谜 279

9.4.3黄金分割与音乐 292

9.4.4简谐振动与傅里叶分析 294

9.5数学与语言学 300

9.5.1索绪尔与现代语言学 300

9.5.2数学和计算机对语言学的影响 301

9.5.3我国现代语言学的发展 303

9.6数学与经济学 305

9.6.1数学与经济学的相互渗透和促进 305

9.6.2两个例子 307

9.7数学与其他人文社会学科 313

9.7.1数学与人文精神 313

9.7.2数学与宗教、哲学 315

9.7.3数学与政治学、法学 316

9.7.4数学与人口学、历史学 321

9.7.5数学与诗歌、文学 324

习题参考答案 330

参考文献 340

附表 标准正态分布表 342