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第一部分 学习指导及习题 2

第一章 曲线论 2

1 向量函数 2

1.1 向量函数的极限 2

1.2 向量函数的连续性 2

1.3 向量函数的微商及泰勒（Taylor）展开式 3

1.4 向量函数的积分 4

习题1.1 5

2 曲线的概念 5

习题1.2 7

3 空间曲线 9

3.1 空间曲线的密切平面 9

3.2 空间曲线的基本三棱形 10

3.3 空间曲线的曲率、挠率和伏雷内公式 14

3.4 空间曲线在一点邻近的结构 16

3.5 空间曲线论的基本定理 17

3.6 一般螺线 17

习题1.3 19

4 全章小结 23

第二章 曲面论 26

1 曲面的概念 26

1.1 简单曲面及其参数表示 26

1.2 光滑曲面 27

1.3 曲面上的曲线族和曲线网 29

习题2.1 30

2 曲面的第一基本形式 31

2.1 曲面的第一基本形式 曲面上曲线的弧长 31

2.2 曲面上两方向的交角 32

2.3 正交曲线族和正交轨线 33

2.4 曲面域的面积 33

2.5 等距变换 34

2.6 保角变换 35

习题2.2 35

3 曲面的第二基本形式 36

3.1 曲面的第二基本形式 36

3.2 曲面上曲线的曲率 38

3.3 杜邦指标线 38

3.4 曲面的渐近方向和共轭方向 38

3.5 曲面的主方向和曲率线 40

3.6 曲面的主曲率、高斯曲率和平均曲率 42

3.7 曲面在一点邻近的结构 43

3.8 高斯曲率的几何意义 43

习题2.3 44

4 直纹面和可展曲面 47

4.1 直纹面 47

4.2 可展曲面 47

习题2.4 49

5 曲面论的基本定理 49

5.1 曲面的基本方程和克里斯托费尔符号 49

5.2 曲面的黎曼曲率张量和高斯-科达齐-迈因纳尔迪公式 50

5.3 曲面论的基本定理 51

习题2.5 52

6 曲面上的测地线 53

6.1 曲面上曲线的测地曲率 53

6.2 曲面上的测地线 54

6.3 曲面上的半测地坐标网 55

6.4 曲面上测地线的短程性 55

6.5 高斯-波涅公式 55

6.6 曲面上向量的平行移动 56

习题2.6 56

7 常高斯曲率的曲面 58

8 全章小结 59

第三章 外微分形式和活动标架 61

1 外微分形式 61

1.1 Grassmann代数 61

习题3.1.1 62

1.2 外微分形式 62

习题3.1.2 64

1.3 Frobenius定理 65

习题3.1.3 67

2 活动标架 67

2.1 合同变换群 67

2.2 活动标架 68

2.3 活动标架法 69

3 用活动标架法研究曲面 71

习题3.3 73

第四章 整体微分几何初步 75

1 平面曲线的整体性质 75

1.1 旋转数 75

习题4.1.1 76

1.2 凸曲线 76

习题4.1.2 76

1.3 等周不等式 77

习题4.1.3 77

1.4 四顶点定理 77

习题4.1.4 77

1.5 等宽曲线 78

习题4.1.5 78

1.6 平面曲线上的Crofton公式 78

习题4.1.6 78

2 空间曲线的整体性质 79

2.1 Fenchel定理 79

习题4.2.1 79

2.2 球面上的Crofton公式 80

习题4.2.2 80

2.3 Fary-Milnor定理 80

2.4 闭曲线的全挠率 81

习题4.2.4 81

3 曲面的整体性质 81

3.1 曲面的整体定义 81

3.2 曲面的一般性质 82

3.3 卵形面 82

习题4.3.3 83

3.4 完备曲面 84

4 紧致曲面的高斯-波涅公式和欧拉示性数 85

4.1 紧致曲面的三角剖分 85

4.2 紧致曲面的欧拉示性数 85

4.3 紧致定向曲面的亏格 85

4.4 紧致曲面的高斯-波涅公式 85

4.5 紧致曲面上的向量场 86

习题4.4 87

第二部分 解题指导与答案 90

第一章 曲线论 90

习题1.1 90

习题1.2 93

习题1.3 104

第二章 曲面论 136

习题2.1 136

习题2.2 142

习题2.3 150

习题2.4 169

习题2.5 172

习题2.6 183

第三章 外微分形式和活动标架 195

习题3.1.1 195

习题3.1.2 196

习题3.1.3 197

习题3.3 198

第四章 整体微分几何初步 202

习题4.1.1 202

习题4.1.2 202

习题4.1.3 203

习题4.1.4 203

习题4.1.5 204

习题4.1.6 205

习题4.2.1 205

习题4.2.2 206

习题4.2.4 206

习题4.3.3 206

习题4.4 209