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第一部分 积分变换 2

第1章 Fourier变换 2

1.1 Fourier积分 2

1.1.1 Fourier级数 2

1.1.2 非周期函数f（t）与周期函数fT（t）的关系 4

1.1.3 Fourier积分 4

习题1.1 9

1.2 Fourier变换的概念 10

1.2.1 Fourier变换的定义 10

1.2.2 正弦Fourier变换与余弦Fourier变换 11

1.2.3 Fourier变换与非周期函数的频谱 13

习题1.2 14

1.3 δ函数及其Fourier变换 15

1.3.1 δ函数的定义 15

1.3.2 δ函数的性质 16

1.3.3 广义Fourier变换 18

习题1.3 21

1.4 Fourier变换及其逆变换的性质 22

1.4.1 线性性质 22

1.4.2 位移性质 22

1.4.3 相似性质 23

1.4.4 微分性质 24

1.4.5 积分性质 26

1.4.6 乘积定理 27

1.4.7 能量积分 28

习题1.4 29

1.5 卷积与相关函数 29

1.5.1 卷积与卷积定理 30

1.5.2 相关函数 33

习题1.5 37

第2章 Laplace变换 38

2.1 Laplace变换 38

2.1.1 问题的提出 38

2.1.2 Laplace变换的概念 39

2.1.3 常见函数的Laplace变换 39

2.1.4 Laplace变换存在定理 41

2.1.5 关于Laplace变换公式中的积分下限0 44

习题2.1 45

2.2 Laplace变换的性质 46

2.2.1 线性性质 46

2.2.2 相似性质 47

2.2.3 微分性质 48

2.2.4 积分性质 50

2.2.5 位移性质（平移性质） 52

2.2.6 延迟性质 52

2.2.7 初值定理和终值定理 55

习题2.2 57

2.3 卷积 58

2.3.1 卷积的概念 58

2.3.2 卷积的性质 59

2.3.3 卷积定理 59

2.3.4 卷积定理的应用 60

习题2.3 63

2.4 Laplace逆变换 63

2.4.1 反演积分公式 64

2.4.2 反演积分公式的计算（留数法） 64

2.4.3 Laplace逆变换求法举例 66

习题2.4 69

2.5 Laplace变换的应用 69

2.5.1 单个方程的情形 70

2.5.2 方程组的情形 72

2.5.3 广义积分的求解 74

习题2.5 74

第二部分 场 论 77

第3章 数量场 77

3.1 数量场的等值面 77

习题3.1 79

3.2 方向导数和梯度 79

3.2.1 方向导数 79

3.2.2 梯度 83

习题3.2 87

第4章 矢量场 89

4.1 矢性函数 89

4.1.1 常矢和变矢 89

4.1.2 矢性函数的定义 89

4.1.3 矢性函数的极限和连续性 90

4.1.4 矢性函数的导数与微分 91

4.1.5 矢性函数的积分 93

4.1.6 矢性函数的定积分 94

4.2 矢量场的概念和矢量线 95

4.2.1 矢量场的概念 95

4.2.2 矢量场的矢量线 95

习题4.2 97

4.3 通量与散度 97

4.3.1 有向曲面 98

4.3.2 通量 98

4.3.3 散度 102

习题4.3 104

4.4 环量与旋度 105

4.4.1 有向封闭曲线 105

4.4.2 环量 105

4.4.3 环量面密度 107

4.4.4 旋度 109

习题4.4 111

4.5 几个重要的矢量场 111

4.5.1 有势场 111

4.5.2 管形场 115

4.5.3 调和场 117

习题4.5 121

4.6 哈密顿算子和拉普拉斯算子 122

4.6.1 哈密顿算子 122

4.6.2 拉普拉斯算子 125

习题参考答案或解题提示 126

附录 131

附录A Fourier变换简表 131

附录B Laplace变换简表 138

参考文献 144