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第1章 分数阶导数及其数值逼近 1

1.1分数阶导数的定义和性质 1

1.1.1分数阶积分 1

1.1.2 Grunwald-Letnikov（G-L）分数阶导数 1

1.1.3 Riemann-Liouville（R-L）分数阶导数 2

1.1.4 Caputo分数阶导数 2

1.1.5 Riesz分数阶导数 4

1.1.6 积分下限处分数阶导数的性态 4

1.2分数阶导数的Fourier变换 5

1.3分数阶常微分方程 6

1.3.1 R-L型分数阶常微分方程的求解 6

1.3.2 Caputo型分数阶常微分方程的求解 9

1.4分数阶导数的数值逼近 10

1.4.1 R-L分数阶导数的G-L逼近 10

1.4.2 Riesz分数阶导数的中心差商逼近 23

1.4.3 Caputo分数阶导数的L1插值逼近 30

1.4.4 Caputo分数阶导数的Alikhanov超收敛点插值逼近 35

1.5分数阶常微分方程的差分方法 39

1.5.1基于G-L逼近的方法 39

1.5.2基于L1插值逼近的方法 46

1.5.3基于Alikhanov超收敛点插值逼近的方法 52

1.6补注与讨论 54

习题1 56

第2章 时间分数阶慢扩散方程的差分方法 58

2.1一维问题基于G-L逼近的空间二阶方法 58

2.1.1差分格式的建立 60

2.1.2差分格式的唯一可解性 61

2.1.3差分格式的稳定性 62

2.1.4差分格式的收敛性 64

2.2一维问题基于G-L逼近的空间四阶方法 64

2.2.1差分格式的建立 64

2.2.2差分格式的唯一可解性 65

2.2.3差分格式的稳定性 66

2.2.4差分格式的收敛性 67

2.3一维问题基于L1插值逼近的空间二阶方法 68

2.3.1差分格式的建立 68

2.3.2差分格式的唯一可解性 69

2.3.3差分格式的稳定性 70

2.3.4差分格式的收敛性 71

2.4一维问题基于L1插值逼近的空间四阶方法 72

2.4.1差分格式的建立 72

2.4.2差分格式的唯一可解性 73

2.4.3差分格式的稳定性 73

2.4.4差分格式的收敛性 75

2.5二维问题基于G-L逼近的ADI方法 75

2.5.1差分格式的建立 77

2.5.2差分格式的唯一可解性 79

2.5.3差分格式的稳定性 80

2.5.4差分格式的收敛性 81

2.6二维问题基于L1插值逼近的ADI方法 82

2.6.1差分格式的建立 83

2.6.2差分格式的唯一可解性 85

2.6.3差分格式的稳定性 85

2.6.4差分格式的收敛性 87

2.7多项时间分数阶慢扩散方程的差分方法 88

2.7.1差分格式的建立 88

2.7.2差分格式的唯一可解性 89

2.7.3差分格式的稳定性 90

2.7.4差分格式的收敛性 92

2.8补注与讨论 93

习题2 94

第3章 时间分数阶波方程的差分方法 96

3.1一维问题的空间二阶方法 96

3.1.1差分格式的建立 96

3.1.2差分格式的唯一可解性 97

3.1.3差分格式的稳定性 98

3.1.4差分格式的收敛性 100

3.2一维问题的空间四阶方法 101

3.2.1差分格式的建立 101

3.2.2差分格式的唯一可解性 102

3.2.3差分格式的稳定性 103

3.2.4差分格式的收敛性 105

3.3二维问题的ADI方法 106

3.3.1差分格式的建立 106

3.3.2差分格式的唯一可解性 109

3.3.3差分格式的稳定性 109

3.3.4差分格式的收敛性 111

3.4二维问题的紧ADI方法 112

3.4.1差分格式的建立 112

3.4.2差分格式的唯一可解性 114

3.4.3差分格式的稳定性 116

3.4.4差分格式的收敛性 119

3.5多项时间分数阶波方程的差分方法 120

3.5.1差分格式的建立 120

3.5.2差分格式的唯一可解性 121

3.5.3差分格式的稳定性 122

3.5.4差分格式的收敛性 124

3.6补注与讨论 125

习题3 126

第4章 空间分数阶微分方程的差分方法 129

4.1一维问题基于位移G-L逼近的一阶方法 129

4.1.1差分格式的建立 130

4.1.2差分格式的唯一可解性 131

4.1.3差分格式的稳定性 132

4.1.4差分格式的收敛性 133

4.2一维问题基于加权位移G-L逼近的二阶方法 133

4.2.1差分格式的建立 134

4.2.2差分格式的唯一可解性 135

4.2.3差分格式的稳定性 136

4.2.4差分格式的收敛性 137

4.3一维问题基于加权位移G-L逼近的四阶方法 138

4.3.1差分格式的建立 139

4.3.2差分格式的唯一可解性 140

4.3.3差分格式的稳定性 141

4.3.4差分格式的收敛性 143

4.4二维问题基于加权位移G-L逼近的四阶ADI方法 144

4.4.1差分格式的建立 145

4.4.2三个引理 147

4.4.3差分格式的唯一可解性 149

4.4.4差分格式的稳定性 150

4.4.5差分格式的收敛性 151

4.5补注与讨论 152

习题4 153

第5章 时空分数阶微分方程的差分方法 156

5.1一维问题的空间二阶方法 156

5.1.1差分格式的建立 157

5.1.2差分格式的唯一可解性 158

5.1.3两个引理 159

5.1.4差分格式的稳定性 164

5.1.5差分格式的收敛性 165

5.2一维问题的空间四阶方法 166

5.2.1差分格式的建立 166

5.2.2差分格式的唯一可解性 168

5.2.3差分格式的稳定性 168

5.2.4差分格式的收敛性 170

5.3二维问题的空间二阶方法 171

5.3.1差分格式的建立 172

5.3.2差分格式的唯一可解性 173

5.3.3差分格式的稳定性 174

5.3.4差分格式的收敛性 177

5.4二维问题的空间四阶方法 177

5.4.1差分格式的建立 178

5.4.2差分格式的唯一可解性 180

5.4.3差分格式的稳定性 181

5.4.4差分格式的收敛性 184

5.5补注与讨论 185

习题5 186

第6章 时间分布阶慢扩散方程的差分方法 188

6.1一维问题空间和分布阶二阶方法 188

6.1.1差分格式的建立 188

6.1.2差分格式的唯一可解性 191

6.1.3两个引理 191

6.1.4差分格式的稳定性 194

6.1.5差分格式的收敛性 195

6.2一维问题空间和分布阶四阶方法 196

6.2.1差分格式的建立 197

6.2.2差分格式的唯一可解性 199

6.2.3差分格式的稳定性 199

6.2.4差分格式的收敛性 201

6.3二维问题空间和分布阶二阶方法 202

6.3.1差分格式的建立 203

6.3.2差分格式的唯一可解性 204

6.3.3差分格式的稳定性 205

6.3.4差分格式的收敛性 206

6.4二维问题空间和分布阶四阶方法 207

6.4.1差分格式的建立 207

6.4.2差分格式的唯一可解性 209

6.4.3差分格式的稳定性 209

6.4.4差分格式的收敛性 211

6.5二维问题空间和分布阶二阶ADI方法 212

6.5.1差分格式的建立 212

6.5.2差分格式的唯一可解性 214

6.5.3差分格式的稳定性 215

6.5.4差分格式的收敛性 216

6.6二维问题空间和分布阶四阶ADI方法 217

6.6.1差分格式的建立 217

6.6.2差分格式的唯一可解性 219

6.6.3差分格式的稳定性 220

6.6.4差分格式的收敛性 221

6.7补注与讨论 222

习题6 224

参考文献 228

索引 233

《信息与计算科学丛书》已出版书目 235