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第1章 常微分方程的基础知识 1

1.1常微分方程的基本概念 1

1.1.1微分方程和解 1

1.1.2微分方程和解的例子 4

1.1.3微分方程解的几何解释、存在和唯一性 6

1.1.4实际问题模型的推导 9

1.2初等积分法 13

1.2.1恰当方程 13

1.2.2积分因子法 16

1.2.3几类可转化为恰当方程的微分方程 20

1.2.4一阶隐式微分方程 25

1.2.5高阶微分方程 29

1.2.6 Mathematica求解常微分方程 32

习题1 34

第2章 一阶微分方程解的存在性和唯一性 38

2.1预备知识：距离空间与压缩映射原理 38

2.1.1距离空间 38

2.1.2压缩映射原理 42

2.2解的存在与唯一性：Picard定理 43

2.3解的存在性：Peano定理 47

2.4解对初值和参数的连续依赖性 51

2.5一阶线性微分方程解的理论 53

习题2 58

第3章 高阶微分方程和微分方程组的解的理论 60

3.1高阶微分方程和微分方程组：解的存在唯一性和可微性 60

3.2解析微分方程组的解析解 65

3.2.1解析解的局部存在性 65

3.2.2解析线性微分方程组幂级数解的收敛半径 68

3.2.3解析解理论的应用：二阶变系数线性齐次微分方程的幂级数解法 70

3.3微分方程可积理论 76

3.3.1可积的基础理论：首次积分的存在性及其与通解的联系 79

3.3.2首次积分在偏微分方程求解中的应用 86

3.3.3 Hamilton系统可积理论初步 93

习题3 99

第4章 线性微分方程组和高阶线性微分方程的基本理论和解法 103

4.1线性微分方程组解的基本理论 103

4.1.1线性微分方程组解的存在区间 104

4.1.2线性微分方程组通解的结构 105

4.1.3高阶线性微分方程通解的结构 112

4.2常系数线性微分方程组的解法 117

4.2.1矩阵指数函数与常系数线性微分方程组的解 117

4.2.2常系数线性齐次微分方程组基解矩阵的求法 119

4.2.3应用：平面常系数线性微分系统的局部结构 126

4.2.4用Mathematica求方程组的解和作平面微分方程组的局部相图 134

4.3高阶常系数线性微分方程的解法 135

4.3.1常系数线性齐次微分方程的解法 135

4.3.2常系数线性非齐次微分方程的待定系数法 140

习题4 142

第5章 变系数线性微分方程和微分方程组的基础理论 146

5.1周期系数线性微分方程组：Floquet理论 146

5.2二阶变系数线性齐次微分方程 152

5.2.1 Sturm比较定理 152

5.2.2二阶线性微分方程两点边值问题的例子 157

5.2.3 Sturm-Liouville边值问题 161

5.3 Sturm-Liouville边值问题在偏微分方程中的应用 164

5.3.1热传导方程初边值问题的解 165

5.3.2波动方程初边值问题的求解 167

习题5 169

第6章 微分方程定性和稳定性理论 172

6.1微分方程解的稳定性 172

6.1.1线性齐次微分方程组零解的稳定性 173

6.1.2由线性近似确定的非线性微分方程组零解的稳定性 178

6.1.3判定稳定性的Lyapunov第二方法 179

6.2平面自治微分系统极限环理论的基础 183

6.3微分系统的结构稳定性与分支简介 190

6.4混沌初步：两个例子 197

习题6 200

附录 203

A.1 Ascoli-Arzelà引理的证明 203

A.2矩阵对数存在性的证明 205

参考答案 208

参考文献 217

名词索引 221

专业名词中英文对照 225

《大学数学科学丛书》已出版书目 229