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第一章 概论 1

1.1什么是数学建模 2

1.1.1从示例看数学建模 2

1.1.2数学模型与数学建模 4

1.2建立数学模型的一般过程或步骤 5

1.3数学建模的基本方法和模型分类 8

1.3.1数学建模的基本方法 8

1.3.2数学模型的分类 9

1.4常见的初等数学建模方法 9

1.4.1比例建模方法 9

1.4.2量纲分析方法 12

1.4.3枚举法 14

1.4.4逻辑问题建模方法 15

1.4.5利用规律建模方法 17

1.5建模竞赛论文写作 18

1.5.1建模竞赛论文的一般结构 19

1.5.2撰写建模竞赛论文应注意的事项 21

1.6理解数学问题 21

1.6.1正问题与反问题 21

1.6.2建模案例 23

思考与练习一 34

第二章 MATLAB快速入门 36

2.1 MATLAB概述 37

2.1.1 MATLAB简介 38

2.1.2 MATLAB的安装与启动 39

2.1.3 MATLAB桌面环境简介 40

2.2 MATLAB数值计算功能 45

2.2.1 MATLAB数据类型 45

2.2.2变量与常量 46

2.2.3 MATLAB数值计算 47

2.2.4常见大学数学课程中有关问题的MATLAB求解 53

2.3 MATLAB程序设计基础 56

2.3.1关系与逻辑运算 56

2.3.2创建M文件 57

2.3.3 MATLAB数据流控制语句 59

2.3.4常用基本函数 64

2.4 MATLAB绘图 65

2.4.1二维图形的绘制 65

2.4.2三维图形的绘制 77

2.4.3利用符号函数作图 86

2.4.4利用菜单栏进行交互式图形编辑 91

思考与练习二 92

第三章 插值方法 93

3.1一维插值 94

3.1.1基本概念 94

3.1.2利用待定系数法确定插值多项式 95

3.1.3拉格朗日插值方法 98

3.1.4分段插值 104

3.1.5一维分段插值的MATLAB实现 109

3.2二维插值 115

3.2.1网格节点插值法 115

3.2.2散乱数据插值法 117

3.2.3二维插值的MATLAB实现 118

3.3应用案例 121

思考与练习三 125

第四章 数据拟合方法 127

4.1线性最小二乘拟合方法 128

4.1.1直线拟合问题 128

4.1.2一般意义下的线性最小二乘方法 133

4.1.3最小二乘多项式拟合 135

4.2非线性最小二乘拟合方法 137

4.3用MATLAB求解数据拟合问题 138

4.3.1最小二乘多项式拟合 138

4.3.2非线性最小二乘拟合 139

4.3.3交互式曲线拟合 144

4.4应用案例：给药方案问题 145

思考与练习四 149

第五章 差分方程建模方法 151

5.1差分方程建模 152

5.2差分方程组建模 155

5.3差分方程（组）的稳定性理论 159

5.3.1基本概念和定解理论 159

5.3.2差分方程的平衡点及稳定性 161

5.4应用案例：最优捕鱼策略 162

思考与练习五 168

第六章 微分方程建模方法 169

6.1常微分方程问题的数学模型 169

6.1.1再论导弹追踪 169

6.1.2传染病预测问题 173

6.1.3单一种群的增长问题 177

6.2常微分方程组问题的数学模型 178

6.2.1再论传染病预测问题 178

6.2.2多种群竞争问题 179

6.2.3弱肉强食问题 180

6.3偏微分方程问题的数学模型 182

6.3.1河流水质中污染物的迁移扩散问题 182

6.3.2热传导问题 184

6.4常微分方程的数值计算方法 185

6.4.1一阶非线性常微分方程初值问题 186

6.4.2一阶非线性常微分方程初值问题的数值计算方法 186

6.4.3一阶常微分方程组和高阶常微分方程的数值计算方法 192

6.4.4偏微分方程数值计算方法 193

6.5利用MATLAB求解微分方程 194

6.5.1微分方程（组）的数值解 194

6.5.2利用偏微分方程工具箱求解偏微分方程 199

思考与练习六 199

第七章 线性规划 201

7.1从示例看线性规划问题 201

7.2线性规划模型 206

7.2.1建立线性规划模型的基本步骤 206

7.2.2线性规划模型的形式 206

7.3线性规划模型的求解理论 209

7.3.1基本概念 209

7.3.2线性规划的求解方法 209

7.4利用优化软件求解线性规划模型 214

7.4.1线性规划问题的MATLAB求解方法 214

7.4.2利用LINGO软件求解线性规划 220

7.5应用案例：人力资源分配问题 224

思考与练习七 226

第八章 整数线性规划 229

8.1从示例看整数线性规划问题 229

8.2整数线性规划模型及其求解方法 235

8.3利用优化软件求解整数线性规划 237

8.3.1利用MATLAB求解整数线性规划 237

8.3.2利用LINGO求解整数线性规划 238

8.4应用案例：应急选址问题 241

思考与练习八 242

第九章 非线性规划 244

9.1非线性规划问题举例 244

9.2非线性规划模型的一般形式 248

9.3求解非线性规划的一般方法——迭代法 250

9.4一维搜索方法 251

9.4.1黄金分割法（0.618法） 251

9.4.2牛顿法 252

9.5无约束最优化方法 253

9.5.1无约束最优化问题的最优性条件 253

9.5.2最速下降法 254

9.6约束最优化方法 255

9.6.1约束最优化问题的最优性条件 255

9.6.2可行方向法 257

9.6.3惩罚函数法 258

9.7利用优化软件求解非线性规划 260

9.7.1利用MATLAB求解非线性规划 261

9.7.2利用LINGO求解非线性规划 266

9.8应用案例：钢管的订购和运输模型 267

思考与练习九 276

第十章 多目标规划 279

10.1多目标规划问题 279

10.1.1从示例看多目标建模问题 279

10.1.2一般多目标规划问题的提法 281

10.2多目标规划问题的有效解 282

10.2.1帕雷托有效解 282

10.2.2妥协解 282

10.2.3满意解 283

10.3求帕雷托有效解的几种常用方法 283

10.3.1目标函数的规范化 283

10.3.2线性加权法 284

10.3.3ε约束法 284

10.3.4理想点法 285

10.4分层序列法和满意水平法 286

10.4.1分层评价法 286

10.4.2 满意水平法 286

10.5应用案例 287

10.5.1投资的收益和风险 287

10.5.2出版社资源配置的多目标优化模型 292

思考与练习十 296

第十一章 图与网络最优化 298

11.1通过实例看图论建模问题 298

11.2图与网络的基本概念 300

11.2.1无向图、有向图与网络 300

11.2.2子图 304

11.2.3图的连通性 305

11.2.4几类重要的图和网络 306

11.3最短路问题与算法 307

11.3.1最短路问题 307

11.3.2求单源最短路问题的Dijkstra算法 308

11.3.3最短路问题的推广 312

11.3.4求所有点对之间最短路的Floyd算法 314

11.4最短路问题的MATLAB求解 319

思考与练习十一 322

第十二章 数据的描述性统计方法 324

12.1概率论初步 325

12.1.1一维随机变量及其分布 326

12.1.2多元随机变量及其分布 329

12.2统计的基本概念 330

12.2.1总体和样本 330

12.2.2频数表和直方图 330

12.2.3统计量 333

12.2.4统计量的MATLAB实现 335

12.3几个重要的概率分布 336

12.3.1几个重要的概率分布及其数字特征 336

12.3.2常用统计量的抽样分布 339

12.3.3 MATLAB统计工具箱中概率分布的实现 341

12.4参数估计 343

12.4.1点估计 343

12.4.2区间估计 344

12.4.3参数估计的MATLAB实现 344

12.5假设检验 345

12.5.1参数的假设检验方法 345

12.5.2参数假设检验的MATLAB实现 347

12.5.3分布拟合检验 349

12.6应用案例：专家打分的可信度评价问题 349

思考与练习十二 354

第十三章 方差分析方法 355

13.1单因素方差分析方法 356

13.1.1数学模型 356

13.1.2数据统计与分析 357

13.1.3方差分析表 359

13.1.4 MATLAB实现 359

13.2双因素方差分析 362

13.2.1数学模型 362

13.2.2无交互影响的双因素方差分析 363

13.2.3 MATLAB实现 364

13.2.4其他 365

13.3应用案例：艾滋病疗法的评价及疗效的预测 365

思考与练习十三 372

第十四章 回归分析 373

14.1一元线性回归 374

14.1.1线性回归模型 374

14.1.2回归参数的估计 375

14.1.3回归方程的显著性检验 376

14.2多元线性回归 378

14.2.1数学模型 378

14.2.2 参数估计 378

14.2.3统计分析 379

14.2.4回归模型的假设检验 380

14.2.5利用回归模型进行预测 381

14.2.6线性回归模型的MATLAB实现 381

14.3多项式回归 385

14.3.1一元多项式回归 385

14.3.2多元二次多项式回归 388

14.4非线性回归及其MATLAB实现 392

14.5逐步回归及其MATLAB实现 394

思考与练习十四 399

第十五章 多因素综合评价方法 401

15.1概述 402

15.2数据预处理及其规范化 404

15.2.1数据预处理方法 404

15.2.2数据规范化方法 405

15.3多因素综合评价方法 407

15.3.1线性加权综合评价方法 407

15.3.2加权积法（非线性加权综合法） 408

15.3.3理想解方法（TOPSIS方法） 408

15.3.4熵权法 410

15.3.5应用示例 411

15.4层次分析方法 415

15.4.1层次分析方法的基本思想和计算步骤 416

15.4.2应用示例：校长奖学金评选问题 422

思考与练习十五 425

参考文献 427