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第1章 群论 1

1.1 群的定义 1

1.1.1 二元运算 1

1.1.2 群的定义 1

1.1.3 群的性质 5

1.1.4 元素的阶 7

1.2 子群 12

1.2.1 子群的定义 12

1.2.2 子群的性质 15

1.2.3 中心化子 16

1.2.4 由集合生成的子群 16

1.2.5 子群的乘积 21

1.2.6 子群的进一步思考 23

1.3 置换群 24

1.3.1 置换群的定义 24

1.3.2 置换的性质 26

1.4 陪集 29

1.4.1 陪集的定义 29

1.4.2 陪集的性质 29

1.4.3 Lagrange定理 31

1.4.4 Lagrange定理的应用 32

1.5 正规子群 35

1.5.1 正规子群的定义 35

1.5.2 商群的定义 38

1.5.3 正规子群的性质 40

1.5.4 换位子群 42

1.6 交错群 45

1.6.1 交错群的性质 45

1.6.2 单群的定义和例子 46

1.7 群的同态 47

1.7.1 群同态的基本概念 47

1.7.2 群同态的性质 48

1.7.3 同态和同构的定理 52

1.7.4 变换群的定义 53

1.7.5 Cayley定理 54

1.8 群的直积 54

1.8.1 群的内直积 54

1.8.2 群的外直积 55

1.9 有限生成的交换群的结构 56

1.10 拓扑群 57

1.10.1 拓扑的定义 57

1.10.2 拓扑群的定义 58

1.10.3 拓扑群的性质 58

第2章 环和域 62

2.1 基本概念 62

2.1.1 环的定义 62

2.1.2 环的性质 68

2.1.3 零因子和整环 70

2.1.4 可除环 73

2.1.5 子环 74

2.1.6 子环R［a］ 75

2.2 理想和商环 76

2.2.1 理想的定义 76

2.2.2 理想与子环的关系 78

2.2.3 商环 79

2.2.4 单环 80

2.2.5 理想的性质 81

2.2.6 主理想 85

2.3 环的同态 87

2.3.1 环同态的定义和性质 87

2.3.2 环的同态和同构定理 90

2.4 域 92

2.4.1 域的定义 92

2.4.2 域中的理想 94

2.4.3 域的同态 95

2.4.4 分式域 95

2.4.5 极大理想 96

2.4.6 环和域的特征 98

2.4.7 素理想 101

2.4.8 准素理想 104

第3章 环上的多项式 106

3.1 多项式 106

3.1.1 多项式的定义 106

3.1.2 多项式的运算 106

3.1.3 多项式的性质 107

3.2 带余除法 109

3.2.1 带余除法 109

3.2.2 整除的性质 110

3.2.3 余数定理 110

3.2.4 域上多项式环的任何理想都是主理想 111

3.3 因式分解 115

3.3.1 整除、相伴、素元和不可约元 115

3.3.2 唯一因子分解环 116

3.3.3 多项式的重因式 122

3.4 本原多项式 123

3.5 唯一因子分解环上的多项式 124

3.6 非交换环上的多项式 124

第4章 向量空间与模 128

4.1 向量空间 128

4.1.1 向量空间的定义 128

4.1.2 向量空间的性质 128

4.1.3 向量空间的子空间 129

4.1.4 线性无关和基 132

4.1.5 线性映射 134

4.2 内积空间 134

4.2.1 内积的定义 134

4.2.2 正交和正交基 135

4.3 模 135

4.3.1 模的定义 135

4.3.2 模的性质 136

第5章 Sylow定理和可解群 140

5.1 群作用 140

5.1.1 群作用的定义 140

5.1.2 群作用的轨道和稳定子群 141

5.1.3 轨道的性质 141

5.1.4 有限群的类方程 142

5.1.5 p群的定义 144

5.2 Sylow定理 148

5.2.1 p-Sylow子群的定义 148

5.2.2 Sylow定理 149

5.2.3 Sylow定理的应用 151

5.3 可解群 161

5.3.1 合成群列的定义 161

5.3.2 合成群列的性质 163

5.3.3 可解群的定义 163

5.3.4 可解群的性质 165

第6章 域的扩张 170

6.1 子域和扩域 170

6.1.1 子域和扩域 170

6.1.2 域的素子域和特征 170

6.1.3 集合S在F上生成的子域 171

6.1.4 单扩域 171

6.1.5 域扩张的次数 172

6.1.6 域扩张的次数公式 173

6.2 代数扩张 176

6.2.1 代数元和超越元 176

6.2.2 极小多项式 179

6.2.3 极小多项式的性质 179

6.2.4 域的代数扩张 181

6.2.5 代数扩张的传递性 183

6.2.6 代数闭域 183

6.3 Galois域和分裂域 187

6.3.1 Galois域的定义 187

6.3.2 Galois域的元素个数 187

6.3.3 多项式的分裂域的定义 188

6.3.4 多项式的分裂域的存在性和唯一性 188

6.3.5 Galois域是其素子域的单扩域 190

6.3.6 正规扩域 190

6.4 方程的根式解 191

6.4.1 Galois群 191

6.4.2 Galois群的性质 192

6.4.3 Galois群的阶 192

6.4.4 n次多项式的Galois群 193

参考文献 196

索引 197