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第一章 方程的导出及定解问题的提法 1

1基本概念 1

1.1什么是偏微分方程 1

1.2.偏微分方程的解 3

1.3.偏微分方程的阶 3

1.4.线性偏微分方程 3

1.5.非线性偏微分方程 4

习题1-1 4

2几个经典方程 6

2.1弦振动方程 6

2.2.热传导方程 10

2.3.Laplace方程 12

习题1-2 12

3 定解问题 13

3.1.定解问题 13

3.2.三类典型的边界条件 14

3.3.适定性 15

习题1-3 16

第二章 二阶方程的特征理论与分类 17

1二阶方程的特征 17

1.1.两个自变量的情形 17

1.2.多个自变量的情形 19

习题2-1 24

2二阶方程的分类 24

2.1.两个自变量的情形 24

2.2.多个自变量的情形 31

习题2-2 34

第三章 分离变量法 36

1分离变量法的理论基础 36

习题3-1 40

2求解实例 40

2.1.双曲型方程的混合问题与分离变量法 40

2.2.抛物型方程的混合问题与分离变量法 52

2.3.椭圆型方程的边值问题与分离变量法 58

习题3-2 62

第四章 双曲型方程 66

1 Duhamel原理 66

1.1.Cauchy问题 66

1.2.混合问题 69

习题4-1 71

2一维波动方程 72

2.1.齐次波动方程的Cauchy问题和特征线法 72

2.2.d’Alembert公式的物理意义 77

2.3.d’Alembert公式的几何解释 78

2.4.依赖区域、决定区域和影响区域 78

2.5.半直线上齐次波动方程的混合问题 80

2.6.非齐次波动方程的Cauchy问题 83

2.7.非齐次波动方程的混合问题 84

习题4-2 86

3高维波动方程 89

3.1.三维齐次波动方程的Cauchy问题 89

3.2.二维波动方程与降维法 93

3.3.依赖区域、决定区域和影响区域 95

3.4.波的传播速度 97

3.5.Poisson公式的物理意义 97

3.6.非齐次波动方程的Cauchy问题 100

习题4-3 101

4 能量积分、唯一性和稳定性 103

4.1.能量积分 103

4.2.混合问题解的唯一性 105

4.3.能量不等式 106

4.4.Cauchy问题解的唯一性和稳定性 110

习题4-4 114

第五章 抛物型方程 116

1 热传导方程定解问题的求解 116

1.1.齐次方程的Cauchy问题 116

1.2.非齐次方程的Cauchy问题 121

1.3.半直线上的热传导方程的混合问题 123

习题5-1 125

2 极值原理、最大模估计、唯一性和稳定性 126

2.1.弱极值原理 127

2.2.第一边值问题解的最大模估计、唯一性与稳定性 131

2.3.第二、三边值问题解的最大模估计 133

2.4.Cauchy问题解的最大模估计 137

2.5.边值问题的能量估计 139

习题5-2 141

第六章 椭圆型方程 144

1调和函数 144

1.1.Green公式 144

1.2.调和函数与基本解 145

1.3.调和函数的基本性质 149

习题6-1 152

2Green函数 153

2.1.Green函数的定义 153

2.2.Green函数的几个重要性质 155

习题6-2 159

3 球与半空间上的Dirichlet问题 160

3.1.球上的Dirichlet问题 160

3.2.半空间上的Dirichlet问题 165

3.3.Harnack不等式及其应用 166

习题6-3 168

4 极值原理、唯一性与稳定性 169

4.1.极值原理 169

4.2.第一边值问题解的唯一性和稳定性 173

4.3.第二边值问题解的唯一性 175

习题6-4 178

第七章 Fourier变换及其应用 180

1 Fourier变换及其性质 180

1.1.Fourier变换 180

1.2.基本性质 182

1.3.几个例子 185

1.4.高维空间的Fourier变换 187

习题7-1 188

2应用 189

习题7-2 193

附录Ⅰ散度定理 195

附录Ⅱ线性变换下的微分运算 197

附录Ⅲ Gronwall不等式 199

附录Ⅳ Riemann-Lebesgue引理 201

主要参考文献 203